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CHAPITRE III.

$\mathrm {L} '_{0}$ sont définis dans l’Ouvrage cité de M. Tisserand et $\Omega$ désigne un ensemble de termes du troisième degré au moins par rapport à $e,$ $e',$ $i$ et $i'.$

La question est donc de rendre cette fonction $\mathrm {R}$ maximum ou minimum en supposant que $e,$ $e',$ $i$ et $i'$ sont liés par la relation

(7)

$\beta \,\mathrm {L} _{0}{\sqrt {1-e^{2}}}\cos i+\beta '\,\mathrm {L} '_{0}{\sqrt {1-e'^{2}}}\cos i'=\mathrm {C} .$

Les équations (8) peuvent alors s’écrire (en supposant, comme plus haut, $l'_{0}=g_{0}=g'_{0}=0$),

(9)

$\left\{{\begin{aligned}{\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(1)}e-{\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(2)}e'+\mathrm {D} _{1}&=k(\beta \,\mathrm {L} _{0}\,e+\mathrm {D} _{2}),\\{\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(1)}(i-i')+\mathrm {D} _{3}&=k(\beta \,\mathrm {L} _{0}\,i+\mathrm {D} _{4}),\\\beta \,\mathrm {L} _{0}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin i+\beta '\,\mathrm {L} '_{0}{\sqrt {1-e'^{2}}}\sin i'&=0,\\{\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(1)}e'-{\tfrac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(2)}e+\mathrm {D} _{7}&=k(\beta '\,\mathrm {L} '_{0}\,e'+\mathrm {D} _{8}),\end{aligned}}\right.$

les $\mathrm {D} _{i}$ désignant un ensemble de termes du second degré au moins par rapport à $e,$ $e',$ $i$ et $i'.$

Quant à l’équation (7), elle s’écrira

(10)

$\beta \,\mathrm {L} _{0}(e^{2}+i^{2})+\beta '\,\mathrm {L} '_{0}(e'^{2}+i'^{2})+\mathrm {D} _{9}=\rho ^{2},$

$\rho ^{2}$ désignant une constante positive égale à

$2\beta \,\mathrm {L} _{0}+2\beta '\,\mathrm {L} '_{0}-2\mathrm {C}$

et $\mathrm {D} _{9}$ désignant un ensemble de termes du troisième degré au moins par rapport à $e,$ $e',$ $i$ et $i'.$

Des équations (9) et (10) on peut tirer $e,$ $e',$ $i$ et $i'$ en séries développées suivant les puissances croissantes de $\rho ,$ et cela de six manières différentes.

Posons, en effet,

$e=\varepsilon \rho ,\quad e'=\varepsilon '\rho ,\quad i=\iota \rho ,\quad i=\iota '\rho \,;\quad$

substituons dans les équations (9), que nous diviserons par $\rho ,$ et dans les équations (10), que nous diviserons par $\rho ^{2}.$ Les deux membres de ces équations seront alors développés suivant les puissances croissantes de $k,$ $\varepsilon ,$ $\varepsilon ',$ $\iota ,$ $\iota ',$ et $\rho .$

J’ajouterai même que les deux membres de ces équations pourront être développés suivant les puissances de $\rho ,$ $\varepsilon -\varepsilon _{0},$ $\varepsilon '-\varepsilon '_{0},$