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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
De plus on devra avoir, ainsi que je l’ai dit plus haut,
![{\displaystyle n\gamma _{1}+n'\gamma _{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd24a17b9c7a29a8e2a374e06d36fec2916308d0)
et, d’autre part,
![{\displaystyle |\gamma _{1}+\gamma _{2}|<\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec935ac10ce4767ac52e9e76f25ecfa1294fc234)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&>|\gamma _{1}+\gamma _{2}|,\qquad &\alpha _{2}&>|\gamma _{3}+\gamma _{4}|.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc098096f0f88d20558a717895e6c85001bdd221)
Je dis que les termes de
pour lesquels
et
ne seront pas nuls à la fois, seront du troisième degré au moins par rapport aux
excentricités et aux inclinaisons, à moins que
ne soit multiple
de
En effet, soient deux nombres entiers
et
qui peuvent être positifs ou négatifs, mais qui ne sont pas nuls à la fois et qui satisfont aux égalités
![{\displaystyle n\gamma _{1}+n'\gamma _{2}=0,\qquad |\gamma _{1}+\gamma _{2}|=0,\;1\;\mathrm {ou} \;2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea03dca60d9248d4e25d859e03f483ca26f04c63)
Si nous posons
![{\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}=\varepsilon ,\qquad \varepsilon =0\pm 1\;\mathrm {ou} \;\pm 2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62470ccedfed384d6b0e111f344adbe0186d1bdf)
il viendra
![{\displaystyle \gamma _{1}=\varepsilon {\frac {n'}{n'-n}},\qquad \gamma _{2}=\varepsilon {\frac {n}{n-n'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006ec7259dec80f450c0f008699ee47ea90af922)
Je vois d’abord que
ne peut être nul, sans quoi
et
seraient nuls à la fois. Comme, d’autre part,
et
doivent être entiers, et que
est égal à
ou à
le nombre
devrait être entier,
ce qui veut dire que
devrait être multiple de
C’est ce que nous ne supposerons pas.
Donc, pour calculer
jusqu’aux termes du deuxième ordre inclusivement,
il suffit de faire, dans
c’est-à-dire de ne conserver dans
que les termes dits séculaires.
Or le calcul de ces termes a été fait depuis longtemps par les
fondateurs de la Mécanique céleste. Je me bornerai donc à renvoyer
par exemple à la Mécanique céleste de M. Tisserand (t. I, p. 406). On trouve alors
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{(0)}+{\frac {1}{8}}\mathrm {B} ^{(1)}[e^{2}+e'^{2}-(i-i')^{2}]-{\frac {1}{4}}\mathrm {B} ^{(2)}ee'\cos(g_{0}-g'_{0})+\Omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac11497d331350494647a9d809a2fcdc106ac29)
Les coefficients
et
qui ne dépendent que de
et