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CHAPITRE III.
à-dire en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {H} _{0}}{\beta }}=\mathrm {G} _{0}&=\mathrm {L} _{0}{\sqrt {1-e^{2}}},&\mathrm {G} '_{0}&=\mathrm {L} '_{0}{\sqrt {1-e'^{2}}}={\frac {\mathrm {H} '_{0}}{\beta '}},\\\Theta _{0}&=\mathrm {G} _{0}\cos i,&\Theta '_{0}&=\mathrm {G} '_{0}\cos i',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c2a056eb0f5d46faf60b5d4271ddc37e2ff26e)
de telle sorte que l’une des équations des aires devienne
(6)
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et l’autre
(7)
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Il s’agit maintenant de chercher les maxima de
considérée
comme fonction de
et
ces quatre variables
étant supposées liées entre elles par les équations des aires (6) et (7). Nous
pouvons donc écrire les équations auxquelles nous serons conduits
et qui, jointes à (7), doivent déterminer
et
sous la forme suivante (où
désigne une quantité auxiliaire) :
(8)
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Est-il possible de satisfaire à ces équations ? Pour nous en rendre
compte voyons quelle est la forme de la fonction
J’observe
d’abord que cette fonction ne dépend de
et de
que par leur
différence
de telle sorte que l’on a
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial i}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial i'}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd22cc09afbae0b59267c43f6ca7529dd6794dda)
Ensuite
se présentera, sous la forme d’une série développée
suivant les puissances croissantes de
et
de telle sorte que le terme général du développement sera de la forme suivante (à un
coefficient près, ne dépendant que de
et
) :
![{\displaystyle e^{\alpha _{1}}e'^{\alpha _{2}}i^{\alpha _{3}}i'^{\alpha _{4}}\cos(\gamma _{1}l_{0}+\gamma _{2}l'_{0}+\gamma _{3}g_{0}+\gamma _{4}g'_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe05ee3c3cc413c5f2b191ad2dfcfa1a14466628)