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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
Les solutions de la troisième sorte que nous étudions ici comprennent,
comme cas particulier, les solutions de la deuxième
sorte dont nous avons démontré plus haut l’existence.
On peut se demander s’il en existe d’autres ; c’est ce qu’un
examen plus approfondi va nous apprendre. Nous verrons que la
fonction
a d’autres maxima et minima que ceux qui se
produisent quand les inclinaisons sont nulles, et par conséquent qu’il
existe des solutions de la troisième sorte distinctes de celles de la
deuxième sorte.
À cet effet, examinons de plus près la forme de la fonction
Nous avons à satisfaire, d’une part, aux relations
(4)
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d’autre part, aux relations
(5)
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Je dis qu’on satisfera aux conditions (4) en faisant
![{\displaystyle l'_{0}=g_{0}=g'_{0}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3fc243b3838b86e8b27c266fc78fcad61d548d)
de sorte qu’on n’aura plus qu’à satisfaire aux équations (5), c’est-à-dire
à rechercher les maxima et minima de
considérée comme
fonction de
et
seulement.
J’observe, en effet, que
est de la forme suivante (si l’on suppose,
comme nous le faisons,
),
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\textstyle \sum }\mathrm {A} \,\cos(\gamma _{1}l'_{0}+\gamma _{2}g_{0}+\gamma _{3}g'_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3250ae7aaaa1b5d6a710cedfc3267aca893be1aa)
dépendant de
![{\displaystyle \mathrm {H} '_{0},.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6460181f40d74390c2954fe2cabebb430443cbdb)
Si donc on suppose
![{\displaystyle l'_{0}=g_{0}=g'_{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ace829bfe8f71663b882a2b6ee8196156598e7c)
on aura à la fois
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial l'_{0}}}={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial g_{0}}}={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial g'_{0}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c601db62890701882d3c62c70f01dab0bac7f9e6)
Imaginons que l’on change de variables en prenant pour variables
nouvelles les excentricités
et
et les inclinaisons
et
c’est--