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CHAPITRE III.
et
les valeurs qui correspondent
à ce maximum ou à ce minimum, on satisfera aux équations (6).
Cette solution du système (6) nous conduit-elle à des solutions
périodiques existant encore pour les petites valeurs de
Il suffit pour cela que le déterminant fonctionnel des équations
(4) ne s’annule pas pour
![{\displaystyle \mu =\beta _{i}=\beta '_{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a947becaad136a1594de21ba955ad8f374f50ed)
Or
et
ne dépendent (quand on fait
) que de
et
car
et ses deux diviseurs
et
ne sont fonctions que
de
et ![{\displaystyle x_{2}^{0}+\beta _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd7925cb3689d302941a5a485389482195cc32d)
Ce déterminant fonctionnel est donc le produit de deux autres.
1o De celui de
et
par rapport à
et
(mais ce n’est autre
chose que le hessien de
par rapport à
et
que
nous supposons différent de 0).
2o de celui de
(7)
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par rapport à
![{\displaystyle \beta _{3},\quad \beta _{4},\quad \beta '_{2},\quad \beta '_{3},\quad \beta '_{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f2ac40c15f1646896584415207f9ca3ee98f70)
Or les quantités (7) sont des fonctions de
![{\displaystyle x_{3}^{0}+\beta _{3},\quad x_{4}^{0}+\beta _{4},\quad \varpi _{2}+\beta '_{2},\quad \varpi _{3}+\beta '_{3},\quad \varpi _{4}+\beta '_{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0cf5289e534bd50801078af38fac34c70eed35b)
La dérivée de l’une quelconque des quantités (7) par rapport à
ou
est égale à sa dérivée par rapport à
ou à
Le déterminant cherché est donc le déterminant fonctionnel des
quantités (7) par rapport à
(8)
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Mais nous devons calculer les valeurs de ce déterminant pour
![{\displaystyle \mu =\beta _{i}=\beta '_{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a947becaad136a1594de21ba955ad8f374f50ed)
Mais, quand
et
s’annulent, les quantités (7) se réduisent
aux premiers membres des équations (6).
Notre déterminant n’est donc autre chose que le hessien de
par rapport aux variables (8).