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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

on trouverait de même

${\begin{aligned}{\frac {\psi _{3}}{\mu }}&={\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{3}}}\,\mathrm {T} ,&{\frac {\psi _{4}}{\mu }}&={\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{4}}}\,\mathrm {T} .\end{aligned}}$

On trouve, par un calcul tout pareil,

${\frac {\psi '_{3}}{\mu }}=-{\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{3}}}\,dt=-\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d}{dx_{3}}}\left({\frac {\mathrm {F} -\mathrm {F} _{0}}{\mu }}\right)\,dt$

ou, pour $\mu =0,$

${\frac {\psi '_{3}}{\mu }}=-\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d\mathrm {F_{1}} }{dx_{3}}}\,dt=-\mathrm {T} \,{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}$

et de même

${\frac {\psi '_{4}}{\mu }}=-\mathrm {T} \,{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{4}^{0}}}$

D’autre part, il vient

$n_{1}^{0}\mathrm {T} +\psi '_{1}=-\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\,dt$

ou, pour $\mu =0,$

${\begin{aligned}n_{1}^{0}\mathrm {T} +\psi '_{1}&=-{\frac {d\mathrm {F_{0}} }{d\left(x_{1}^{0}+\beta _{1}\right)}}\,\mathrm {T} ,&\psi '_{1}&=\left(n_{1}-n_{1}^{0}\right)\mathrm {T} .\end{aligned}}$

On trouve de même

$\psi '_{2}=\left(n_{2}-n_{2}^{0}\right)\mathrm {T} .$

Nous voulons d’abord que pour

$\mu =0,\qquad \beta _{i}=0,\qquad \beta '_{i}=0$

le système (4) soit satisfait. Or, si l’on a $\beta _{1}=\beta _{2}=0,$ $n_{1}$ et $n_{2}$ se réduisent à $n_{1}^{0}$ et $n_{2}^{0},$ $\psi '_{1}$ et $\psi '_{2}$ se réduisent à 0 ; de sorte que deux des équations (4) sont satisfaites d’elles-mêmes. Le système (4) se réduit simplement à

(6)

${\frac {d\mathrm {R} }{dx_{3}^{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dx_{4}^{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{2}}}={\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{3}}}={\frac {d\mathrm {R} }{d\varpi _{4}}}=0.$

Ainsi, dans la fonction $\mathrm {R,}$ annulons les $\beta _{i}$ et les $\beta '_{i}\,;$ considérons ensuite $\mathrm {R}$ comme fonction de $x_{3}^{0},$ $x_{4}^{0},$ $\varpi _{2},$ $\varpi _{3},$ $\varpi _{4}\,;$ si cette fonction admet un maximum ou un minimum et qu’on donne aux variables