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CHAPITRE III.

Si $x_{1}^{0}$ et $x_{2}^{0}$ ont été choisis de telle sorte que $n_{1}^{0}\mathrm {T}$ et $n_{2}^{0}\mathrm {T}$ soient multiples de $2\pi ,$ la solution sera périodique de période $\mathrm {T,}$ et cela quelles que soient les valeurs initiales $x_{3}^{0},$ $x_{4}^{0},$ $\varpi _{1},$ $\varpi _{2},$ $\varpi _{3}$ et $\varpi _{4}.$

Considérons maintenant une solution quelconque pour une valeur quelconque de $\mu$ et soient

(2)

{\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\beta _{i},&y_{i}&=\varpi _{i}+\beta '_{i},\end{aligned}}

les valeurs initiales des $x_{i}$ et des $y_{i}$ pour $t=0.$ Soient

{\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\beta _{i}+\psi _{i},&y_{i}&=n_{i}^{0}\mathrm {T} +\beta '_{i}+\psi '_{i}+\varpi _{i}\end{aligned}}

les valeurs des des $x_{i}$ et des $y_{i}$ pour $t=\mathrm {T} .$

Pour que la solution soit périodique, il faut et il suffit que l’on ait

(3)

\left\{{\begin{alignedat}{5}\psi _{1}&=\psi _{2}&{}={}&\psi _{3}&{}={}&\psi _{4}&{}={}&0,\\\psi '_{1}&=\psi '_{2}&{}={}&\psi '_{3}&{}={}&\psi '_{4}&{}={}&0.\end{alignedat}}\right.

Je remarquerai :

1^o Que je puis toujours choisir l’origine du temps de telle façon que la valeur initiale de $y_{1}$ soit nulle, aussi bien pour la solution périodique (1) que pour la solution qui correspond aux valeurs initiales (2). On aura donc

\varpi _{1}=\beta '_{1}=0\,;

2^o Que $\mathrm {F} =\mathrm {C}$ est une intégrale de nos équations différentielles et que ${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}$ n’est pas nul ${\Big (}{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}$ est égal à $n_{1}^{0}{\Big )}.$ Les équations (3) ne sont donc pas distinctes et je puis supprimer la première d’entre elles,

\psi _{1}=0\,;

3^o Que pour $\mu =0,$ on a identiquement

\psi _{2}=\psi _{3}=\psi _{4}=\psi '_{3}=\psi '_{4}=0\,;

que par conséquent $\psi _{2},$ $\psi _{4},$ $\psi '_{1},$ $\psi '_{2},$ $\psi '_{3},$ $\psi '_{4}$ sont divisibles par $\mu .$ Je puis donc remplacer le système (3) par le suivant :

(4)

{\frac {\psi _{2}}{\mu }}={\frac {\psi _{3}}{\mu }}={\frac {\psi _{4}}{\mu }}=\psi '_{1}=\psi '_{2}={\frac {\psi '_{3}}{\mu }}={\frac {\psi '_{4}}{\mu }}=0.