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CHAPITRE III.

et comme on a, d’autre part,

${\frac {d^{2}\eta _{1}}{dx^{2}}}=\varphi _{0},$

on en conclura

$\eta _{1}\ll \eta '_{1}\quad (\arg e^{\pm ix}).$

On trouve ensuite

$z_{1}=\lambda f'_{1}\eta '_{1}$

et, d’autre part,

$[y_{1}]={\frac {-1}{[f_{1}]}}[f_{1}\eta _{1}],$

d’où

${\begin{aligned}\left[y_{1}\right]&\ll z_{1},\\y_{1}&\ll y'_{1}.\end{aligned}}$

Il vient ensuite

$\eta '_{2}=\varphi '_{1}(x,\,y'_{1})$

et, d’autre part,

${\frac {d^{2}\eta _{2}}{dx^{2}}}=\varphi _{1}(x,\,y_{1})$

d’où

$\eta _{2}\ll \eta '_{2}\,;$

puis

$z_{2}=\lambda f_{1}\eta '_{2}+\lambda \theta '_{2}(x,\,y'_{1})$

et, d’autre part,

$[y_{2}]={\frac {-1}{[f_{1}]}}[f_{2}\eta _{2}]-{\frac {1}{[f_{1}]}}[\theta _{2}],$

d’où

$[y_{2}]\ll z_{2},\quad y_{2}\ll y'_{2},$

et ainsi de suite ; la loi est manifeste, on aura

$y_{n}\ll y'_{n}\quad (\arg e^{\pm ix})$

et

$y\ll y'\quad (\arg \mu ,\,e^{\pm ix}).$

Si donc la série

$y'=\mu y'_{1}+\mu ^{2}y'_{2}+\mu ^{3}y'_{3}+\dots$

converge, la série

(4)

$y=\mu y_{1}+\mu ^{2}y_{2}+\dots$

convergera a fortiori. Il me reste donc à établir que la série $y'$