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SOLUTIONS PERIODIQUES.
Cela posé, soit
une fonction de
et de
de même forme que
c’est-à-dire telle que
![{\displaystyle f'=f'_{0}+f'_{1}y+f'_{2}y^{2}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90648d67385a030a8e13c1d2cd79bd7ca3381f1d)
étant des fonctions périodiques de
et supposons
de plus que l’on ait
![{\displaystyle f\ll f'\quad (\arg y,e^{\pm ix}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6010d5857860211dba08a784c05029b57dca9b8b)
Si nous posons ensuite
![{\displaystyle f'(\mu y_{1}+\mu ^{2}y_{2}+\mu ^{3}y_{3}+\dots )=\varphi '_{0}+\mu \varphi '_{1}+\dots +\mu ^{n}\varphi '_{n}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67a4a6e9fdbe9a9234bea9b945d034f4a53d0de)
il viendra
![{\displaystyle \varphi _{n}\ll \varphi '_{n}\quad (\arg y_{1},\,y_{2},\,\dots ,\,y_{n},\,e^{\pm ix})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b78b165dfcf5a46886ed0098832399ba47e8d5)
Nous poserons également
![{\displaystyle \theta '=f'-f'_{0}-f'_{1}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12d16c97fff3462f9f11fad12588f23fb29ceed)
![{\displaystyle \theta '(\mu y_{1}+\mu ^{2}y_{2}+\mu ^{3}y_{3}+\dots )=\theta '_{2}\mu ^{2}+\theta '_{3}\mu ^{3}+\dots +\theta '_{n}\mu ^{n}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16f7de1f45eeadb60aa1670d93828fc602fc776)
d’où
![{\displaystyle \theta _{n}\ll \theta '_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112e3eda55244c1d8d6d052d31fbb7fc0786dfd5)
Nous écrirons enfin
![{\displaystyle \left|{\frac {1}{[f_{1}]}}\right|=\lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28ed42b2adacda2a54283fdec4763e996ee001f)
Soient maintenant
et
trois fonctions inconnues liées par
la relation
![{\displaystyle y'=\eta '+z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce83b7c468660773f9061b356b9f59c95281dbad)
et développées suivant les puissances de
de sorte que
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}y'&=\mu y'_{1}&{}+{}&\mu ^{2}y'_{2}&{}+{}&\dots ,\\\eta '&=\mu \eta '_{1}&{}+{}&\mu ^{2}\eta '_{2}&{}+{}&\dots ,\\z&=\mu z_{1}&{}+{}&\mu ^{2}z_{2}&{}+{}&\dots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564f213fa17c2381f630ebd3faa036c80ed5bafd)
Définissons ces fonctions par les équations suivantes
(3)
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on trouvera tout d’abord
![{\displaystyle \eta '_{1}=\varphi '_{0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478dbebb6a5b4bf0da0ea27f9e8a15b2ee73ab8f)