127
SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
De ces deux équations, on peut tirer 
et 
à moins que le hessien
de ![{\displaystyle [\mathrm {F} _{1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4f16813c31ea0e9a8e5733d6b036e5b49f22b3)
par rapport à 
et 
ne soit nul.
Si l’on donne aux 
les valeurs ainsi obtenues, les deux dernières équations (10) nous
donneront 
et 
sous la forme suivante
les 
étant des fonctions périodiques de 
entièrement connues et
les 
étant de nouvelles constantes d’intégration.
Pour trouver 
nous pouvons, au lieu d’employer la première
des équations (10), nous servir des considérations suivantes :
Les équations (1) admettent une intégrale
étant une constante d’intégration que je supposerai développée
suivant les puissances de 
en écrivant
de sorte que l’on a
étant autant de constantes différentes.
Le premier membre de l’équation
dépend des 
des 
des 
des 
de 
et de 
qui sont des
fonctions connues de 
et de que nous n’avons pas encore calculée.
De cette équation, nous pourrons donc tirer sous la forme suivante
sera une fonction périodique de entièrement déterminée et 
est une constante qui dépend de 
de 
et de
.
Nous pouvons conclure de là que la première des équations (11)
doit être satisfaite et par conséquent que ces trois équations (11)
ne sont pas distinctes.
Prenons maintenant les équations (5′) et faisons-y 
nous
obtiendrons trois équations qui nous permettront de déterminer
