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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
De ces deux équations, on peut tirer
et
à moins que le hessien
de
par rapport à
et
ne soit nul.
Si l’on donne aux
les valeurs ainsi obtenues, les deux dernières équations (10) nous
donneront
et
sous la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}^{2}&=\xi _{2}^{2}+\mathrm {C} _{2}^{2},&x_{3}^{2}&=\xi _{3}^{2}+\mathrm {C} _{3}^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206367194a8925e21b79d8beb47b7f3c22bc8ded)
les
étant des fonctions périodiques de
entièrement connues et
les
étant de nouvelles constantes d’intégration.
Pour trouver
nous pouvons, au lieu d’employer la première
des équations (10), nous servir des considérations suivantes :
Les équations (1) admettent une intégrale
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f59b96e0028b82f77da492d425e036d3d78f999)
étant une constante d’intégration que je supposerai développée
suivant les puissances de
en écrivant
![{\displaystyle \mathrm {B} =\mathrm {B} _{0}+\mu \mathrm {B} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {B} _{2}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0a3afeea647b7e899ea59307378b082067ce64)
de sorte que l’on a
![{\displaystyle \Phi _{0}=\mathrm {B} _{0},\quad \Phi _{1}=\mathrm {B} _{1},\quad \Phi _{2}=\mathrm {B} _{2},\quad \dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7dd66595e45df085c83694d2ad17ed343bd3885)
étant autant de constantes différentes.
Le premier membre de l’équation
![{\displaystyle \Phi _{2}=\mathrm {B} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3799a205c3b65e401925a1a536aa66aabf9a202)
dépend des
des
des
des
de
et de
qui sont des
fonctions connues de
et de
que nous n’avons pas encore calculée.
De cette équation, nous pourrons donc tirer
sous la forme suivante
![{\displaystyle x_{1}^{2}=\xi _{1}^{2}+\mathrm {C} _{1}^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99352c42bdbbe32f53a5ec2e1e811133ee793cd0)
sera une fonction périodique de
entièrement déterminée et
est une constante qui dépend de
de
et de
.
Nous pouvons conclure de là que la première des équations (11)
doit être satisfaite et par conséquent que ces trois équations (11)
ne sont pas distinctes.
Prenons maintenant les équations (5′) et faisons-y
nous
obtiendrons trois équations qui nous permettront de déterminer