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CHAPITRE III.

Les équations (4′) s’écrivent alors

${\frac {dx_{i}^{2}}{dt}}={\frac {d\Omega _{2}}{dy_{i}^{0}}}+\sideset {}{_{k}}\sum y_{k}^{1}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{k}^{0}\,dy_{i}^{0}}}$

ou

(10)

${\frac {dx_{i}^{2}}{dt}}\!=\!\mathrm {H} _{i}^{1}-k_{1}^{1}\Sigma \mathrm {A} m_{1}m_{i}\sin \omega -k_{2}^{1}\Sigma \mathrm {A} m_{2}m_{i}\sin \omega -k_{3}^{1}\Sigma \mathrm {A} m_{3}m_{i}\sin \omega ,$

$\mathrm {H} _{i}^{1}$ étant une fonction périodique de $t,$ que l’on peut regarder comme entièrement connue. Pour que l’on puisse tirer de cette équation $x_{i}^{2}$ sous la forme d’une fonction périodique, il faut et il suffit que les seconds membres des équations (10), développés en séries trigonométriques, ne possèdent pas de termes tout connus. Nous devons donc disposer des quantités $k_{i}^{1}$ de manière à annuler ces termes tout connus. Nous serions ainsi conduits à trois équations linéaires entre les trois quantités $k_{i}^{1}\,;$ mais, comme le déterminant de ces trois équations est nul, il y a une petite difficulté et je suis forcé d’entrer dans quelques détails.

Comme nous avons supposé plus haut que $y_{1}^{1}=0$ pour $t=0,$ nous aurons

$k_{1}^{1}=0\,;$

nous n’aurons plus alors que deux inconnues $k_{2}^{1}$ et $k_{3}^{1}$ et trois équations à satisfaire ; mais ces trois équations ne sont pas distinctes, comme nous allons le voir.

Appelons, en effet, $\mathrm {E} _{i}$ le terme tout connu de $\mathrm {H} _{i}^{1},$ ces trois équations s’écriront (si l’on se rappelle que le signe de sommation $\mathbb {S}$ se rapporte aux termes tels que $m_{1}=0$)

(11)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} _{1}&=0,\\\mathrm {E} _{2}&=k_{2}^{1}\mathbb {S} \,\mathrm {A} m_{2}^{2}\sin \omega &{}+{}&k_{3}^{1}\mathbb {S} \,\mathrm {A} m_{3}m_{2}\sin \omega ,\\\mathrm {E} _{3}&=k_{2}^{1}\mathbb {S} \,\mathrm {A} m_{2}m_{3}\sin \omega &{}+{}&k_{3}^{1}\mathbb {S} \,\mathrm {A} m_{3}^{2}\sin \omega ;\end{alignedat}}\right.$

les deux dernières des équations (11) pourront aussi s’écrire

${\begin{alignedat}{3}-\mathrm {E} _{2}&=k_{2}^{1}\,{\frac {d^{2}[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{2}^{2}}}&{}+{}&k_{3}^{1}\,{\frac {d^{2}[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{2}\,d\varpi _{3}}},\\-\mathrm {E} _{3}&=k_{2}^{1}\,{\frac {d^{2}[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{2}\,d\varpi _{3}}}&{}+{}&k_{3}^{1}\,{\frac {d^{2}[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{3}^{2}}}\cdot \end{alignedat}}$