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CHAPITRE III.

puis développons $\mathrm {F}$ suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ ainsi qu’il a été dit au n^o 22. Il viendra

$\mathrm {F} =\Phi _{0}+\mu \quad \Phi _{1}+\mu ^{2}\Phi _{2}+\dots$

et l’on aura

$\Phi _{0}=\mathrm {F} _{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0}).$

Il viendra ensuite (si l’on se souvient que ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}}}=-n_{i}$ et que $n_{2}=n_{3}=0$)

(3)

$\Phi _{1}=\mathrm {F} _{1}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0},y_{1}^{0},y_{2}^{0},y_{3}^{0})-n_{1}x_{1}^{1}.$

Plus généralement, on aura

$\Phi _{k}=\Theta _{k}-n_{1}x_{1}^{k}=\Theta _{k}+x_{1}^{k}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}+x_{2}^{k}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{0}}}+x_{3}^{k}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{3}^{0}}},$

et $\Theta _{k}$ dépendra seulement

${\begin{array}{llllll}\mathrm {des} \;x_{i}^{0},&\mathrm {des} \;x_{i}^{1},&\dots &\mathrm {et} &\mathrm {des} \;x_{i}^{k-1},\\\mathrm {des} \;y_{i}^{0},&\mathrm {des} \;y_{i}^{1},&\dots &\mathrm {et} &\mathrm {des} \;y_{i}^{k-1}.\\\end{array}}$

Par rapport aux $y_{i}^{0},$ elle est périodique de période $2\pi .$

Cela posé, les équations différentielles peuvent s’écrire, en égalant les puissances de même nom de $\mu ,$

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}^{0}}{dt}}&={\frac {dx_{2}^{0}}{dt}}={\frac {dx_{3}^{0}}{dt}}=0,&{\frac {dy_{1}^{0}}{dt}}&=n_{1},&{\frac {dy_{2}^{0}}{dt}}&=n_{2},&{\frac {dy_{3}^{0}}{dt}}&=n_{3}.\end{aligned}}$

On trouve ensuite

(4)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}^{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}^{0}}},&{\frac {dx_{2}^{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{2}^{0}}},&{\frac {dx_{3}^{1}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{3}^{0}}}\end{aligned}}$

et

(5)

${\begin{aligned}{\frac {dy_{1}^{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi _{1}}{dx_{1}^{0}}},&{\frac {dy_{2}^{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi _{1}}{dx_{2}^{0}}},&{\frac {dy_{3}^{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi _{1}}{dx_{3}^{0}}},\end{aligned}}$

et plus généralement

(4′)

${\frac {dx_{i}^{k}}{dt}}={\frac {d\Phi _{k}}{dy_{i}^{0}}}$

et

(5′)

${\frac {dy_{i}^{k}}{dt}}=-{\frac {d\Phi _{k}}{dx_{i}^{0}}}=-{\frac {d\Theta _{k}}{dx_{i}^{0}}}-x_{1}^{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}\,dx_{i}^{0}}}-x_{2}^{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{0}\,dx_{i}^{0}}}-x_{3}^{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{3}^{0}\,dx_{i}^{0}}}\cdot$