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CHAPITRE III.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

et $\varphi '(\mathrm {C} )$ sera une constante qui pourra être regardée comme connue, si l’on suppose que les conditions initiales du mouvement soient données et permettent par conséquent de calculer la constante $\mathrm {C} .$

Les équations (1) peuvent alors s’écrire

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d[\varphi (\mathrm {F} )]}{\varphi '(\mathrm {C} )\,dy_{i}}},\quad {\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d[\varphi (\mathrm {F} )]}{\varphi '(\mathrm {C} )\,dx_{i}}}\cdot$

Elles conservent la même forme, mais la fonction $\mathrm {F} _{0}$ est remplacée par $\varphi (\mathrm {F} _{0})$ dont le hessien n’est pas nul.

Prenons, par exemple, le cas particulier du problème des trois Corps étudiés au n^o 6, celui où l’une des masses est nulle et où les deux autres se meuvent circulairement.

Dans ce cas, nous avons trouvé

$\mathrm {F} _{0}={\frac {1}{2x_{1}^{2}}}+x_{2}\,;$

on a donc

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{2}}}={\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}\,dx_{1}}}=0.$

Notre hessien est donc identiquement nul ; mais, si nous prenons

$\varphi (\mathrm {F} _{0})=\mathrm {F} _{0}^{2}={\frac {1}{4x_{1}^{4}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}^{2}}}+x_{2}^{2},$

le hessien de $\varphi (\mathrm {F} _{0})$ est égal à

${\frac {6}{x_{1}^{6}}}$

et est différent de 0.

Ainsi tout ce qui précède est applicable à ce cas particulier du problème des trois Corps qui possède des solutions périodiques pour les petites valeurs de $\mu .$

Considérons au contraire le cas général du problème des trois Corps traité au n^o 11.

Nous avons trouvé que ce problème pouvait être ramené à la forme canonique, les deux séries de variables étant

${\begin{array}{cccccc}\beta \mathrm {L} ,&\beta \mathrm {G} ,&\beta \Theta ,&\beta '\mathrm {L} ',&\beta '\mathrm {G} ',&\beta '\Theta ',\\l,&g,&\theta ,&l',&g',&\theta '.\\\end{array}}$

La fonction $\mathrm {F}$ peut se développer suivant les puissances de $\mu$

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mathrm {F} _{1}\mu +\mathrm {F} _{2}\mu ^{2}+\dots ,$