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CHAPITRE III.
Je pourrais même ajouter qu’il en est encore de même pour chacune
des racines d’ordre impair.
L’existence des solutions périodiques une fois démontrée, il
reste à faire voir que ces solutions peuvent se développer suivant
les puissances de
et s’écrire
![{\displaystyle x_{i}=\theta _{i,0}(t)+\mu \theta _{i,1}(t)+\mu ^{2}\theta _{i,2}(t)+\dots \qquad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2387d9f09f44ac42a4de9c68b6eab3bcbe1d51)
étant des fonctions périodiques de
développables selon les sinus et cosinus des multiples de
![{\displaystyle {\frac {2\pi t}{\mathrm {T} +\tau }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c687d081c651a057a2b85b868af0060dadd0d829)
D’après le théorème du no 28, nous aurons
![{\displaystyle x_{i}=\mathrm {H} _{i}[t-t_{1},\,\mu ,\,x_{1}^{0}-\varphi _{1}(0),\,x_{2}^{0}-\varphi _{2}(0),\,\dots ,\,x_{n}^{0}-\varphi _{n}(0)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960dc4416f62ff248d7811d01e4ddee72b1b96bb)
si
sont les valeurs initiales de
pour ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
sera développable suivant les puissances de
![{\displaystyle t-t_{1},\quad \mu \quad \mathrm {et} \quad x_{i}^{0}-\varphi _{i}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c130064737a2f0d3598db3036187b5b784c215de)
si
est assez petit et si
est assez voisin de
et
de ![{\displaystyle \varphi _{i}(0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c7161b1cf82b1982dbaf9ac07a9f8eeb33289d)
Nous prendrons
![{\displaystyle t=t_{1}+{\frac {t_{1}\tau }{\mathrm {T} }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7ad10efea941512e05e120deea4f5c0c5338f2)
De plus, nous prendrons
![{\displaystyle x_{i}^{0}-\varphi _{i}(0)=\beta _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466e82686ec8e44c740e72868404cde137ced928)
Nous choisirons les
et
de façon à obtenir une solution
périodique, c’est-à-dire de façon à satisfaire aux équations (9). Nous
venons de voir que, si
et les
satisfont à ces équations (9),
on pourra développer
suivant les puissances croissantes de
et que
et les
s’annuleront avec
On aura donc
![{\displaystyle x_{i}=\mathrm {H} _{i}\left({\frac {t_{1}\tau }{\mathrm {T} }},\,\mu ,\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\dots ,\,\beta _{n}\right)=\mathrm {K} _{i}(\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80035bd17bdf3ffd215c58658aaaac1d785b3fbb)
étant une fonction développée suivant les puissances de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)