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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
ces trois nombres
seront commensurables entre eux,
puisqu’ils sont proportionnels aux nombres
et ![{\displaystyle n_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa36cdfeddc9a1a9f81e1bc4f2f6aa5f1a838e6f)
Ils nous conduiront donc à une solution périodique de période
![{\displaystyle \mathrm {T} +\tau ={\frac {\mathrm {T} }{1+\varepsilon }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f175857a0493d39619303c07eb05314a3c395a)
de telle façon que nous aurons
(14)
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les
et les
étant des fonctions développables suivant les
puissances de
et de
et périodiques en
mais de façon que la
période dépende de ![{\displaystyle \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
Si dans
nous remplaçons les
et les
par
leurs valeurs (14),
doit devenir une constante indépendante du temps [puisque
est une des intégrales des équations (1)]. Mais cette
constante, qui est dite constante des forces vives, dépendra de
et de
et pourra être développée suivant les puissances croissantes
de ces variables.
Si la constante des forces vives
est une donnée de la question, l’équation
![{\displaystyle \mathrm {F} (\mu ,\varepsilon )=\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0e99fdcb8a5ca343ab19d9f2d04f8396b1e0b5)
peut être regardée comme une relation qui lie
à
Si donc nous
nous donnons arbitrairement
il existera toujours une solution
périodique, quelle que soit la valeur choisie pour cette constante ;
mais la période dépendra de
et par conséquent de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Un cas plus particulier que celui que nous venons de traiter en
détail est celui où il n’y a que 2 degrés de liberté.
ne dépend
alors que de quatre variables,
et la fonction
ne dépend plus que d’une seule variable
Les relations (6) se réduisent alors à
(15)
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et le hessien de
se réduit à
d’où cette conclusion :
À chacune des racines simples de l’équation (15) correspond
une solution périodique des équations (1), qui existe pour toutes
les valeurs de
suffisamment petites.