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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

ces trois nombres $n'_{1},$ $n'_{2},$ $n'_{3}$ seront commensurables entre eux, puisqu’ils sont proportionnels aux nombres $n_{1},$ $n_{2}$ et $n_{3}.$

Ils nous conduiront donc à une solution périodique de période

$\mathrm {T} +\tau ={\frac {\mathrm {T} }{1+\varepsilon }},$

de telle façon que nous aurons

(14)

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t,\mu ,\varepsilon ),&y_{i}&=\varphi '_{i}(t,\mu ,\varepsilon ),\end{aligned}}$

les $\varphi _{i}$ et les $\varphi '_{i}$ étant des fonctions développables suivant les puissances de $\mu$ et de $\varepsilon ,$ et périodiques en $t,$ mais de façon que la période dépende de $\varepsilon .$

Si dans $\mathrm {F}$ nous remplaçons les $x_{i}$ et les $y_{i}$ par leurs valeurs (14), $\mathrm {F}$ doit devenir une constante indépendante du temps [puisque $\mathrm {F} =\mathrm {const.}$ est une des intégrales des équations (1)]. Mais cette constante, qui est dite constante des forces vives, dépendra de $\mu$ et de $\varepsilon ,$ et pourra être développée suivant les puissances croissantes de ces variables.

Si la constante des forces vives $\mathrm {B}$ est une donnée de la question, l’équation

$\mathrm {F} (\mu ,\varepsilon )=\mathrm {B}$

peut être regardée comme une relation qui lie $\varepsilon$ à $\mu .$ Si donc nous nous donnons arbitrairement $\mathrm {B} ,$ il existera toujours une solution périodique, quelle que soit la valeur choisie pour cette constante ; mais la période dépendra de $\varepsilon$ et par conséquent de $\mu .$

Un cas plus particulier que celui que nous venons de traiter en détail est celui où il n’y a que 2 degrés de liberté. $\mathrm {F}$ ne dépend alors que de quatre variables, $x_{1},$ $y_{1},$ $x_{2},$ $y_{2},$ et la fonction $[\mathrm {F} _{1}]$ ne dépend plus que d’une seule variable $\varpi _{2}.$ Les relations (6) se réduisent alors à

(15)

${\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{2}}}=0,$

et le hessien de $[\mathrm {F} _{1}]$ se réduit à ${\frac {d^{2}[\mathrm {F} _{1}]}{d\varpi _{2}^{2}}}\,;$ d’où cette conclusion :

À chacune des racines simples de l’équation (15) correspond une solution périodique des équations (1), qui existe pour toutes les valeurs de $\mu$ suffisamment petites.