commune des trois Corps soit ou plus exactement que l’on ait (en appelant et les longitudes vraies)
Il ne s’agit donc pas, à proprement parler, d’une conjonction symétrique, mais d’une opposition symétrique.
Pour qu’il y ait conjonction (ou opposition) symétrique, il faut, comme nous venons de le voir, quatre conditions ; nous aurons donc quatre équations pour déterminer nos quatre éléments restés arbitraires. Ces quatre équations pourront être résolues si le déterminant fonctionnel correspondant, n’est pas nul ; or il ne l’est pas en général : c’est ce qu’on verrait par un calcul facile, tout semblable à celui qui précède et qu’il est inutile de reproduire ici.
Ainsi les rayons vecteurs ont même valeur à l’époque et à l’époque même valeur encore à l’époque et à l’époque (puisqu’il y a encore conjonction symétrique à l’époque ). Quant à la différence des longitudes, ses valeurs aux époques et (ou bien encore aux époques et ) sont égales et de signe contraire. Donc les distances mutuelles des trois corps sont des fonctions périodiques dont la période est Ces solutions, qui présentent alternativement des conjonctions et des oppositions symétriques sont donc des solutions périodiques.
On pourrait croire que les solutions périodiques ainsi définies sont moins générales que celles dont nous avions d’abord démontré l’existence. Il n’en est rien ; il y en a aussi une quadruple infinité ; car nous pouvons choisir arbitrairement l’époque de la conjonction et de l’opposition, et la longitude des trois corps au moment de cette conjonction et de cette opposition ; il reste donc quatre arbitraires : ce qui montre que toutes les solutions de la première sorte rentrent dans cette même catégorie. Si l’on choisit convenablement l’époque 0, il y a, pour toutes les solutions de la première sorte, conjonction symétrique au début de chaque période et opposition symétrique au milieu de chaque période.
On peut encore s’en rendre compte de la façon suivante :
