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SOLUTIONS PERIODIQUES.

et pour les petites valeurs de $\mu ,$ le problème des trois Corps admettra une solution périodique de la première sorte dont la période sera ${\frac {2\pi }{n'-n}}\cdot$

Il n’y aura d’exception que si $n$ est multiple de $n'-n$ ou si $n=-n'.$

Il y a une quadruple infinité de solutions périodiques de la première sorte ; nous pouvons en effet, si $\mu$ est assez petit, choisir arbitrairement :

1^o La période ${\frac {2\pi }{n'_{0}-n_{0}}}=\mathrm {T} \,;$

2^o La constante $\mathrm {C} \,;$

3^o Le moment de la conjonction, que nous avions pris dans le calcul précédent pour origine du temps ;

4^o La longitude de la conjonction, que nous avions prise pour origine des longitudes, de sorte que nous avons, pour chaque valeur de $\mu ,$ $\infty ^{4}$ solutions périodiques.

On peut retrouver ces solutions de la manière suivante :

Supposons qu’à l’origine des temps on ait

$\lambda =\lambda '=\eta =\eta '=0\,;$

les trois Corps seront en conjonction et leurs vitesses seront perpendiculaires à la droite qui les joint ; cette droite sera d’ailleurs l’axe $\mathrm {A} x_{1}$ qui se confondra à cet instant avec l’axe $\mathrm {D} x_{3}.$ Il résulte immédiatement de cette symétrie de la position des trois corps à l’instant 0 les conséquences suivantes :

Les valeurs des rayons vecteurs, à l’instant $t$ et à l’instant $-t,$ seront les mêmes ; les valeurs des longitudes à l’instant $t$ et à l’instant $-t$ seront égales et de signe contraire.

Nous dirons alors qu’à l’époque 0 les trois corps se trouvent en conjonction symétrique.

Nous avons supposé qu’il y a conjonction symétrique au temps 0 et qu’à ce moment la longitude commune des trois corps est nulle ; nous avons ainsi déterminé quatre des éléments osculateurs $\lambda ,$ $\lambda ',$ $\eta$ et $\eta '\,;$ il nous en reste encore quatre qui sont arbitraires, à savoir, $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\xi$ et $\xi '.$ Nous en disposerons de façon qu’à l’instant ${\tfrac {\mathrm {T} }{2}}$ il y ait de nouveau conjonction symétrique et que la longitude