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CHAPITRE III.
Dans tous les cas les équations (1) ne seraient pas distinctes.
Il n’y aurait d’exception que si l’on avait à la fois
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}=\dots ={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36137131568d7ce34cdcf8015b7fc39ed085a468)
pour ![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(0),\,\mu =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9637cb6a355c0e21665d68d15c5bf339ff8b6f)
On supprimera donc l’une des équations (1), par exemple
![{\displaystyle \psi _{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41ac55fada2d51e2d9815908307aaf4f111979b)
et l’on résoudra par rapport aux
le système
![{\displaystyle \psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n-1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f070fcd6076ebf86b07793a2b775cdc5689ca6)
auquel on adjoindra une
ième équation choisie arbitrairement, par exemple
![{\displaystyle \beta _{i}=\mathrm {const.} \;\mathrm {arbitraire} \quad \mathrm {ou} \quad \mathrm {F} =\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e2b862de0177168b51c4b3b3dc670f3a0a83fbf)
(
étant une constante donnée).
Pour chaque valeur de
il y a donc une infinité de solutions périodiques
de période
si toutefois on regarde la constante
(à
laquelle est égalée
) comme une donnée de la question il n’y en a
plus qu’une en général.
Si, au lieu d’une intégrale uniforme, nous en avions deux
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\,t)&=\mathrm {const.,} \\\mathrm {F} _{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\,t)&=\mathrm {const.,} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1db325374765469fc0a50f0fb7a135a839e7f1b)
les deux dernières équations (1) seraient une conséquence des
premières, pourvu que le jacobien
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\frac {d\mathrm {F_{1}} }{dx_{n-1}}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n-1}}}{\frac {d\mathrm {F_{1}} }{dx_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c8e3beb00708a761f82f9eac931b1532d0ae82)
ne soit pas nul pour
![{\displaystyle \mu =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1fbd9b60e51f99639d432b9b86c1f1f486e1b2)
On pourrait alors supprimer ces deux dernières équations
![{\displaystyle \psi _{n-1}=\psi _{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc2af652632d7009981d6f5f7f9c99abe42459c)
et les remplacer par deux autres équations choisies arbitrairement.