Nous savons maintenant ce que c’est qu’un continu à dimensions. Un continu a dimensions quand on peut le décomposer en plusieurs parties en y pratiquant une ou plusieurs coupures qui soient elles-mêmes des continus à dimensions. Le continu à dimensions se trouve ainsi défini par le continu à dimensions ; c’est une définition par récurrence.
Ce qui me donne confiance dans cette définition, ce qui me montre que c’est bien ainsi que les choses se présentent naturellement à l’esprit, c’est d’abord que beaucoup d’auteurs de traités, élémentaires, qui n’y entendaient pas malice, ont fait au début de leurs ouvrages quelque chose d’analogue. Ils définissent les volumes comme des portions de l’espace, les surfaces comme les frontières des volumes, les lignes comme celles des surfaces, les points comme celles des lignes ; après quoi ils s’arrêtent et l’analogie est évidente. C’est ensuite que dans les autres parties de Analysis Situs, nous retrouvons le rôle important de la coupure ; c’est sur la coupure que, tout repose. Qu’est-ce qui, d’après Riemann, distingue, par exemple, le tore de la sphère ? c’est qu’on ne peut pas tracer sur une sphère une courbe fermée sans couper cette surface en deux ; tandis qu’il y a des courbes fermées qui ne coupent pas le tore en deux, et qu’il faut y pratiquer deux coupures fermées n’ayant aucun
