M. Zermelo se borne à dire : considérons un domaine (Bereich) d'objets quelconques ; il peut arriver qu'entre deux de ces objets et , il y ait une relation de la forme ; nous dirons alors que est un élément de , et que est un ensemble, une Menge.
Évidemment ce n'est pas là une définition, quelqu'un qui ne sait pas ce que c’est qu’une Menge, ne le saura pas davantage quand il aura appris qu'elle est représentée par le symbole , puisqu'il ne sait pas ce que c'est que . Cela pourrait aller si ce symbole devait être défini dans la suite par les axiomes eux-mêmes qui seraient regardés comme des décrets arbitraires. Mais nous venons de voir que ce point de vue était intenable. Il faut donc que nous sachions d’avance ce que c'est qu’une Menge, que nous en ayons l'intuition, et c'est cette intuition qui nous fera comprendre ce que c’est que , qui ne serait sans cela qu'un symbole dépourvu de sens, et dont on ne pourrait affirmer aucune propriété évidente par elle-même. Mais qu’est-ce que cette intuition peut être si elle n’est pas la définition de Cantor que nous avons dédaigneusement rejetée ?
Passons sur cette difficulté que nous chercherons plus loin à éclaircir et énumérons les axiomes admis par M. Zermelo ; ils sont au nombre de sept :
