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lui demander : de quel ordre ? Et c’est seulement après qu’il aura répondu à cette légitime question que son assertion aura un sens.

Passons à un exemple plus scientifique et envisageons la définition du nombre entier. On dit qu’une propriété est récurrente si elle appartient à zéro, et si elle ne peut appartenir à $n$ sans appartenir à $n+1$; on dit que tous les nombres qui possèdent une propriété récurrente forment une classe récurrente. Alors un entier est par définition un nombre qui possède toutes les propriétés récurrentes, c’est-à-dire qui appartient à toutes les classes récurrentes.

De cette définition peut-on conclure que la somme de deux entiers est un entier ? Il semble que oui ; car si $n$ est un nombre entier, donné, les nombres $x$ qui sont tels que $n+x$ est entier forment une classe récurrente. Le nombre $x$ ne serait donc pas entier, si $n+x$ ne l’était pas. Mais la définition de cette classe récurrente dont nous venons de parler n’est pas prédicative, car dans cette définition (qui nous apprend que $n+x$ doit être entier) entre la notion de nombre entier qui présuppose la notion de toutes les classes récurrentes.

D’où la nécessité d’employer le détour suivant : appelons classes récurrentes du 1^er ordre toutes celles que l'on peut définir sans introduire la notion