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68 CHAPITRE III. morale sera ou pour le paradoxe de Saint-Pétersbourg. Cette série est manifestement convergente. 28. Ruine d'un joueur. Deux joueurs, dont l'un, A, possède m francs, et l'autre, B, n francs, jouent à Ifr la partie et poursuivent le jeu jusqu'à ce que l'un des deux soit ruiné. La probabilité pour que cet événement se produise sera une fonction de m et n, ®{m, n), et comme la somme des fortunes, m-hn=zs, est une constante, sera fonction de s et n, c'est-à -dire de n. Appelons cp(n) la probabilité pour que B finisse par être ruiné nous supposerons ici que les conditions ne sont pas équitables. Si A, à chaque partie, a la probabilité p de gagner, Ba la probabilité r -p. On joue une partie nouvelle. Deux hypothèses se pré- sentent A va gagner etB aura (n i)tr; B gagnera et aura (tu- i)Er. m (n) comprendra donc la probabilité pour que B perde cette partie et finisse par être ruiné, soit p ©(«  i), et aussi la probabilité pour que B; gagnant cette même partie, finisse également par être ruiné, soit (i -p) cp (n+ 1). (1) <?(n)=py(n i)-f-(i– />)?(«  + !)• Cette relation de récurrence servira à déterminer cp(n). Il faut, en outre, connaître les conditions limites.