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L'ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE. 63 Par conséquent, b cz = 2(\/piak\/pl– \f^lal\/p'i)' , b c"-=2,pipk(ak– a£y. pi eipk sont essentiellement positifs; donc b-c2 est supé- rieur à zéro et la valeur probable du carré de a est toujours plus grande que le carré de la valeur probable de a, sauf quand ak-^at, c'est-à -dire quand a ne peut prendre qu'une seule valeur. Il est clair que la valeur probable de la somme de deux fonctions est la somme des valeurs probables de ces deux fonctions. En revanche, la valeur probable du produit de deux fonctions n'est pas égale en général au produit de leurs valeurs probables. Ce que nous venons de dire au sujet de la valeur probable du carré le prouve suffisam- ment. Soient cependant /et deux fonctions indépendantes l'une de l'autre. Soient pi la probabilité que/=/£-, et^. celle que (p = <pA. Les deux fonctions étant indépendantes, la probabilité pour que f=ft en même temps que <p = <p^. sera pi qk, en vertu du théorème des probabilités composées. La valeur probable du produit f sera alors 2ptÇkfi<?k= (Zpifi) (2çk<?k), c'est-à-dire au produit de la valeur probable de f par celle de <p. 25. On promet à un joueur (toujours en tirant dans une urne contenant p. boules et sans remettre les boules dans l'urne) de lui donner ifr à chaque maximum de la liste