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58 CHAPITRE III. dans cette formule p-, = o, c'est-à -dire le théorème de la probabilité totale; mais je suppose qu'il n'en soit pas ainsi. Le gain à réaliser est de ifr si A se produit; de inégale- ment si B se produit. L'espérance mathématique totale, en tenant compte des deux événements, sera/?t -p2- Ainsi, que les événements soient compatibles ou non, l'espérance mathématique totale est la somme des espé- rances mathématiques partielles. Si les deux événements se produisaient, le joueur tou- cherait 2fr. Cas plus compliqué Un certain nombre d'événements Al, A2, Ag sont possibles la probabilité pour que A/ se produise estpi, la probabilité pour que Ai et A* se produi- sent à la fois est_pa., la probabilité pour que Aj, Aj et A* se produisent à la fois est/ty*. On promet à un joueur de lui payer ifr pour chaque évé- nement qui se produit; s'il y en a n, il touchera n francs. Son espérance mathématique totale est la somme de celles que lui assure chacun des événements, c'est-à-dire 2pt. On lui promet autant de francs qu'il y aura de combinai- sons de deux événements pris dans la série. Si deux événe- ments se produisent, il touche ifr; si trois événements A, B, C se produisent, il touche 3fr, car il y a trois com- binaisons AB, BC, CA; si n événements se produisent, il touche n (n i) francs. 2 Quand deux événements At- et Ai- se produisent, cette combinaison lui assurant ifr, l'espérance mathématique est PiTe, et l'espérance mathématique totale est alors