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nous considérerons deux cas, suivant que le point est de 2 à 7 ou de 8 à 12.

Si le point $\mathrm {K}$ est au plus égal à 7, $\mathrm {K} <8$, il n’y a à faire intervenir ni $t^{8}$, ni $t^{14}$, dans le premier développement, et l’on n’aura à considérer que

$t^{2}+2t^{3}+3t^{4}+\ldots +6t^{7}$.

Ainsi, pour les points 2, 3, 4, …, 7, $\mathrm {N}$ a les valeurs respectives 1, 2, 3, …, 6.

Si $\mathrm {K}$ est égal ou supérieur à 8, il ne faut pas envisager $t^{14}$, et l’on n’aura affaire qu’à

$t^{2}(1+2t+\ldots )-2t^{8}(1+2t+\ldots )$.

Le coefficient de $t^{2}$ dans le premier monome sera $\mathrm {K} -1$.

Le coefficient de $t^{8}$ dans le second monome sera −2 ; celui de $t^{9}$, −4 ; … ; celui de $t^{\mathrm {K} }$, $-2(\mathrm {K} -7)$. Ainsi

$\mathrm {N} =\mathrm {K} -1-2(\mathrm {K} -7)=13-\mathrm {K}$.

On trouverait des expressions plus compliquées pour $n>2$.

20. Problème de la loterie. — Dans une urne, il y a $\mu$ boules numérotées de 1 à $\mu$ ; on en tire $n$ ; quelle est la probabilité pour qu’il y ait $\mathrm {K}$ boules désignées d’avance ?

Les $n$ boules tirées portent des numéros différents entre eux et compris entre 1 et $\mu$.

Les cas possibles sont en même nombre que les arrangements de $\mu$ lettres $n$ à $n$, si l’on tient compte de l’ordre de sortie

${\frac {\mu \ !}{(\mu -n)\ !}}$.