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Pour évaluer le nombre des cas possibles, constatons que les $m$ bulletins $\mathrm {A}$ et les $n$ bulletins $\mathrm {B}$ peuvent se présenter dans autant d’ordres différents qu’il y a de permutations avec répétition de $m$ lettres $\mathrm {A}$ et $n$ lettres $\mathrm {B}$, soit

${\frac {(m+n)!}{m!+n!}}$.

Je partage ces cas possibles en trois groupes.

Dans le premier, je range tous les cas où $\mathrm {A}$ a la majorité au début et la conserve tout le temps, soit $\mathrm {N_{1}}$ cas tous favorables.

Dans le deuxième, je range tous les cas où le premier bulletin est un bulletin $\mathrm {B}$ ; $\mathrm {A}$ perd donc la majorité au début ; ce sont $\mathrm {N_{2}}$ cas défavorables.

Dans le troisième, je range tous les cas où $\mathrm {A}$ a la majorité au début, mais la perd ensuite avant de la retrouver à la fin ; ce sont $\mathrm {N_{3}}$ cas défavorables.

On a

$\mathrm {N_{1}} +\mathrm {N_{2}} +\mathrm {N_{3}} ={\frac {(m+n)!}{m!+n!}}$,

et il s’agit de calculer

${\frac {\mathrm {N_{1}} }{\mathrm {N_{1}} +\mathrm {N_{2}} +\mathrm {N_{3}} }}$.

Évaluons $\mathrm {N_{2}}$ : le premier bulletin dépouillé porte $\mathrm {B}$ ; supprimons-le, il reste $m$ bulletins $\mathrm {A}$ et $(n-1)$ bulletins $\mathrm {B}$. Le nombre des cas possibles est ${\frac {(m+n-1)!}{m!\ (n-1)!}}$ et donne la valeur de $\mathrm {N_{2}}$.

Je vais démontrer que $\mathrm {N_{3}} =\mathrm {N_{2}}$.

Lemme. — Supposons qu’il y ait égalité de voix dans le scrutin : $\mathrm {B}$ a $q$ bulletins, $\mathrm {B}$ a $q$ bulletins. Admettons également que $\mathrm {A}$ a la majorité au début, et qu’il la conserve jus-