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13. Supposons, en particulier, $\alpha =0$, d’où $p_{4}=0$ ; alors.

$p_{1}+p_{2}=p_{3}$.

Lorsque les deux événements ne peuvent arriver tous deux à la fois, la probabilité de $\mathrm {A}$ et celle de $\mathrm {B}$ ont pour somme la probabilité pour que l’un quelconque se produise.

Ainsi, quand un événement peut se produire de deux manières différentes, mais que ces deux manières ne peuvent arriver simultanément, la probabilité de l’arrivée de cet événement est égale à la somme de la probabilité pour qu’il se produise de la première manière et de la probabilité pour qu’il se produise de la deuxième manière.

C’est le théorème des probabilités totales.

4. Il peut arriver que $p_{5}=p_{1}$. Alors

${\frac {\alpha }{\alpha +\gamma }}={\frac {\alpha +\beta }{\alpha +\beta +\gamma +\delta }}$,

d’où

${\frac {\alpha +\gamma }{\alpha }}={\frac {\alpha +\beta +\gamma +\delta }{\alpha +\beta }}$,

$1+{\frac {\gamma }{\alpha }}=1+{\frac {\gamma +\delta }{\alpha +\beta }}$,

${\frac {\alpha +\beta }{\alpha }}={\frac {\gamma +\delta }{\gamma }}$,

$1+{\frac {\beta }{\alpha }}=1+{\frac {\delta }{\gamma }}$,

${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\gamma }{\delta }}$,

Quand cette dernière condition est remplie, on a $p_{1}=p_{5}$ ; on a aussi $p_{1}=p_{6}$, en permutant $\alpha$ avec $\beta$, $\gamma$ avec $\delta$ ; on a