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chapitre i.

si $0<x<{\frac {1}{2}}$, le carré de $x$, soit $y$, est compris entre 0 et ${\frac {1}{4}}$.

Puisque $x^{2}=y$, et que $x$ est compris entre 0 et 1 on a $0<y<1$. Les cas favorables sont tous ceux pour lesquels $0<y<{\frac {1}{4}}$ ; si l’on divise l’intervalle compris entre 0 et 1 en quatre parties égales, la probabilité pour que $y$ soit compris entre 0 et ${\frac {1}{4}}$ est ${\frac {1}{4}}$.

Ce serait pourtant une erreur grossière d’évaluer également à ${\frac {1}{4}}$ la probabilité pour que $x$ soit compris entre 0 et ${\frac {1}{2}}$.

En effet, dans la première évaluation, nous considérons comme également probables les deux hypothèses

$x_{0}<x<x_{0}+\epsilon$       et       $x_{1}<x<x_{1}+\epsilon$,

l’intervalle $\epsilon$ étant le même ; tandis que, dans la seconde évaluation, nous considérons comme également probables les deux hypothèses

$x_{0}^{2}<x^{2}<x_{0}^{2}+\epsilon$       et       $x_{1}^{2}<x^{2}<x_{1}^{2}+\epsilon$ ;

ces deux conventions sont contradictoires.

Ici, $x$ est une constante arbitraire ; plus haut, dans le problème de l’aiguille, il y avait trois constantes arbitraires, les coordonnées du milieu de l’aiguille et sa direction. Dans d’autres problèmes de probabilités, il y a encore plus de constantes arbitraires, il y a même des lois arbitraires. Ainsi $y=f(x)$ est une fonction qui peut paraître plus probable que telle autre, ce qui arrive entre autres quand on interpole. C’est là une quatrième catégorie de problèmes.

7. Plaçons-nous à un autre point de vue.

Une question de probabilités ne se pose que par suite de