Page:Henri Poincaré - Calcul des probabilités, 1912.djvu/324

3l8 CHAPITRE XVI. nous aurions dû prendre et.a(3 n'aurait plus été très petit. Et cependant l'instinct, qui nous pousse croire que la troisième décimale doit être uniformément répartie, est aussi puissant en ce qui con- cerne la cinquième. En ce qui concerne l'évaluation deJ,ilnepeutyavoir de difficulté même si a(3 n'estpas très petit; on n'aurait donc à s'occuper que de la différence J -S . D'autre part, la fonc- tion périodique F que nous avions définie au début de cette étude et qui s'introduit quand on veut étudier la répartition des décimales dans une table de logarithmes, cette fonction àlaquelle nous avions substitué un sinus pourfaciliter le cal- cul, était égale à i suivant qu'un certain chiffre était pair ou impair. C'était donc une fonction discontinue, et nous ne pouvons nous appuyer, dans le calcul deJ S sur ce fait que ses dérivées sont limitées. On pourrait, il est vrai, développer cette fonction pério- dique F en série de Four ier, et l'on serait ramené à des sinus auxquels on pourrait chercher à appliquer ce qui précède; mais pour les termes d'ordre élevé de cette série, le nombre a serait très grand et le produit a(3 ne serait pas très petit; on retomberait donc sur la première difficulté. 236. Force est donc de recourir à d'autres considérations. Soit F(x) une fonction dont les dérivées sont limitées. For- monsunetableoù nous donnerons x toutes les valeurs mul- tiples de Est-il possible que dans cette table la cin- 10000 quième décimale soit toujours égale à o? On aurait alors