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Supposons maintenant que S soit réel ou complexe, mais non purement imaginaire ; supposons par exemple S=S1+iS,, S, n'étant pas nul. Si S est imaginaire, la solution particulière est elle-même imaginaire, seulement sa partie réelle satisfait à l'équation diffé- rentielle et alors cette partie réelle est une solution réelle de l'équation. Considérons cette solution réelle. Supposons d'abord que S, soit positif; dans ce cas-la si on fait t=— , alors lim. partie réelle de eSt =o, par conséquent AK est tendra vers zéro. Tous les TK tendront donc vers zéro et par conséquent lim. Tk2= o. Comme TK2 est une constante, cette constante est nulle, ce qui ne peut avoir lieu que si tous lesTK sont identiquement nuls. Maintenant si SI est négatif, on aura encore o pour l — co et par conséquent encore 0. La partie réelle de S ne peut donc être ni positive ni négative. Les n valeurs de S sont donc purement imaginaires; les n valeurs de op seront par suite réelles, de sorte que les n raies du dédou- blement existeront réellement. De plus, les racines de l'équation en S (étant imaginaires conjuguées deux à deux) devront être deux à deux égales et de signes contraire ; c'est-à -dire que les raies dédoublées devront être deux à deux symétriques par rap- port à la raie primitive. Si n est impair une des racines doit être