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Supposons que la masse électrique contenue dans l’élément $d\tau$ se déplace de façon que ses trois coordonnées subissent des accroissements $\delta x,\delta y,\delta z.$

Le travail de la force électrique appliquée à cette masse électrique sera donc

$-\rho d\tau \left({\frac {d\psi }{dx}}\delta x+{\frac {d\psi }{dy}}\delta y+{\frac {d\psi }{dz}}\delta z\right).$

Le travail total des forces appliquées aux différentes masses électriques répandues dans tout l’espace sera représenté par l’intégrale

$-\int \rho d\tau \left({\frac {d\psi }{dx}}\delta x+{\frac {d\psi }{dy}}\delta y+{\frac {d\psi }{dz}}\delta z\right).$

étendue à l’espace tout entier.

Si donc nous appelons $\mathrm {W}$ l’énergie potentielle cherchée, l’accroissement de cette énergie sera donnée par la formule :

(4)

$\delta \mathrm {W} =\int \rho d\tau \left({\frac {d\psi }{dx}}\delta x+{\frac {d\psi }{dy}}\delta y+{\frac {d\psi }{dz}}\delta z\right).$

29. — Mettons cette expression sous une autre forme et pour cela évaluons l’accroissement $\delta \rho$ de la densité électrique $\rho$ à l’intérieur de l’élément $d\tau$ dans ce déplacement.

Considérons cet élément comme un parallélipipède rectangle dont les trois arêtes de longueur $\alpha ,\beta ,\gamma$ soient respectivement parallèles aux trois axes de coordonnées de sorte que $d\tau =\alpha \beta \gamma .$

La quantité d’électricité qui entrera dans ce parallélipipède en passant à travers l’une des faces perpendiculaires à l’axe des $x$ sera égale à $\rho$, densité du fluide, multiplié par $\delta x,$ déplacement du fluide projeté sur l’axe des $x$, et par $\beta \gamma$ aire de la face du parallélipipède.

Nous aurons donc pour l’expression de cette quantité d’électricité :

$\rho \delta x\beta \gamma .$

La quantité d’électricité qui entrera dans le parallélipipède en passant par la face opposée aura une expression analogue. Seu-