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20. — Cela posé, considérons une surface fermée dont l’intérieur est occupé par un diélectrique homogène et par des conducteurs en équilibre électrique possédant une charge totale $\mathrm {M}$. Donnons à cette charge un accroissement $d\mathrm {M}$ et supposons que le système des conducteurs soit encore en équilibre électrique. Le fluide inducteur passe d’un état d’équilibre contraint à un second état d’équilibre contraint et pendant ce passage il y a déplacement de chacune de ses molécules puisqu’il y a mouvement de l’électricité. Cherchons la quantité de ce fluide qui a traversé la surface fermée. Si $dt$ est le temps infiniment petit pendant lequel s’est effectué le passage de l’état initial du système à l’état final, la quantité de fluide inducteur qui est sortie par un élément $d\omega$ de la surface est

$dq=d\omega dt\mathrm {V} _{n},$

$\mathrm {V} _{n}$ étant la projection de la vitesse du déplacement sur la normale extérieure à la surface fermée. La quantité de fluide inducteur qui sort de la surface est donc, pendant le même temps,

$d\mathrm {Q} =dt\int \mathrm {V} _{n}d\omega .$

Mais puisque $f,g,h$ désignent les composantes du déplacement, ${\frac {df}{dt}},{\frac {dg}{dt}},{\frac {dh}{dt}}$ sont les composantes de la vitesse, et par suite la composante normale $\mathrm {V} _{n}$ a pour valeur

$\mathrm {V} _{n}=\alpha {\frac {df}{dt}}+\beta {\frac {dg}{dt}}+\gamma {\frac {dh}{dt}}.$

Portons cette expression dans celle de $d\mathrm {Q} ,$ nous obtenons

$d\mathrm {Q} =dt\int \left(\alpha {\frac {df}{dt}}+\beta {\frac {dg}{dt}}+\gamma {\frac {dh}{dt}}\right)d\omega .$

L’intégrale du second membre de cette égalité n’est autre chose que la dérivée par rapport au temps du premier membre de la relation (2). Nous avons donc

$d\mathrm {Q} =dt{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}=d\mathrm {M} ,$