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Pour cela ces fonctions devront satisfaire à la condition suivante ; on devra avoir identiquement :

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\sum m_{i}\left({x'}_{i}^{2}+{y'}_{i}^{2}+{z'}_{i}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}\sum {m'}_{i}\left({\varphi '}_{i}^{2}+{\psi '}_{i}^{2}+{\theta '}_{i}^{2}\right)$

où

${\varphi '}_{i}={q'}_{1}{\frac {d\varphi _{i}}{dq_{1}}}+{q'}_{2}{\frac {d\varphi _{i}}{dq_{2}}}+\dots +{q'}_{n}{\frac {d\varphi _{i}}{dq_{n}}},$ etc.

Comme le nombre p peut être pris aussi grand que l’on veut, on peut toujours satisfaire à cette condition, et cela d’une infinité de manières.

Ainsi dès que les fonctions $\mathrm {U} \left(q_{k}\right)$, $\mathrm {T} \left({q'}_{k},q_{k}\right)$ existent, on peut trouver une infinité d’explications mécaniques du phénomène.

Si donc un phénomène comporte une explication mécanique complète, il en comportera une infinité d’autres qui rendront également bien compte de toutes les particularités révélées par l’expérience.

Ce qui précède est confirmé par l’histoire de toutes les parties de la Physique ; en optique par exemple, Fresnel croit la vibration perpendiculaire au plan de polarisation ; Neumann la regarde comme parallèle à ce plan. On a cherché longtemps un « experimentum crucis » qui permît de décider entre ces deux théories et on n’a pu le trouver.

De même, sans sortir du domaine de l’électricité, nous pouvons constater que la théorie des deux fluides et celle du fluide unique rendent toutes deux compte d’une façon également satisfaisante de toutes les lois observées en électrostatique.

Tous ces faits s’expliquent aisément grâce aux propriétés des équations de Lagrange que je viens de rappeler.

Il est facile de comprendre maintenant quelle est l’idée fondamentale de Maxwell.

Pour démontrer la possibilité d’une explication mécanique de l’électricité, nous n’avons pas à nous préoccuper de trouver cette explication elle-même, il nous suffit de connaître l’expression des deux fonctions T et U qui sont les deux parties de l’énergie, de former avec ces deux fonctions les équations de Lagrange et de comparer ensuite ces équations avec les lois expérimentales.