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fonctions des q, les équations (1) prendront une autre forme. L’énergie potentielle $U$ deviendra une fonction des q ; quant à l’énergie cinétique $T$, elle dépendra non seulement des q, mais de leurs dérivées $q'$ et elle sera homogène et du second degré par rapport à ces dérivées. Les lois du mouvement seront alors exprimées par les équations de Lagrange :

(2)

${\dfrac {d}{dt}}{\dfrac {d\mathrm {T} }{dq_{k}}}-{\dfrac {d\mathrm {T} }{{dq'}_{k}}}+{\dfrac {d\mathrm {U} }{dq_{k}}}=0.$

Si la théorie est bonne, ces équations (2) devront être identiques aux lois expérimentales directement observées.

Ainsi pour qu’une explication mécanique d’un phénomène soit possible, il faut qu’on puisse trouver deux fonctions ${\rm {U}}$ et ${\rm {T}}$, dépendant, la première des paramètres q seulement, la seconde de ces paramètres et de leurs dérivées ; que ${\rm {T}}$ soit homogène du deuxième ordre par rapport à ces dérivées et que les équations différentielles déduites de l’expérience puissent se mettre sous la forme (2).

La réciproque est vraie ; toutes les fois qu’on pourra trouver ces deux fonctions ${\rm {T}}$ et ${\rm {U}}$, on sera certain que le phénomène est susceptible d’une explication mécanique.

Soient en effet $\mathrm {U} \left(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}\right),$ $\mathrm {T} \left({q'}_{1},{q'}_{2},\dots ,{q'}_{n};\dots ,q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}\right)$ ou plus simplement $\mathrm {U} \left(q_{k}\right),\mathrm {T} \left({q'}_{k},q_{k}\right),$ ces deux fonctions.

Que reste-t-il à faire pour obtenir l’explication complète ?

Il reste à trouver p constantes $m_{1},\dots ,m_{2},m_{p}$ ; et 3 p fonctions des q :

$\varphi _{i}\left(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}\right),$ $\psi _{i}\left(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}\right),$ $\theta _{i}\left(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}\right),$

où

$(i=1,2\dots p),$

ou plus brièvement

$\varphi _{i}\left(q_{k}\right),\psi _{i}\left(q_{k}\right),\theta _{i}\left(q_{k}\right)$

que l’on puisse considérer comme les masses et les coordonnées

$x_{i}=\varphi _{i},y_{i}=\psi _{i},z_{i}=\theta _{i}$

des p molécules du système.