se passer bien décidément et bien réellement des quantités actuellement infinies, et des infiniment petits à la rigueur. Lorsqu’il eut trouvé ce moyen, l’infinitisme fut condamné pour lui hors des mathématiques comme en elles. L’idée de l’impossibilité du nombre infini, victorieuse sur son terrain le plus propre, le fut en même temps dans tout le reste de la théorie de la connaissance.
Nous aurons peut-être l’occasion de revenir sur la philosophie mathématique de M. Renouvier. Il semble indispensable d’en donner aujourd’hui un bref aperçu (voy. notamment Crit. phil., 1877, I, 26, 135 et 263). Les quantités infinitésimales à la rigueur sont inadmissibles et en elles-mêmes et en tant qu’il s’agit d’en faire des sommes. Il est donc indispensable de s’en passer. Mais comment ? Recourir à des quantités très petites mais finies, conduit à enlever toute rigueur aux opérations transcendantes : on n’a plus que des approximations, même dans les formules générales et en dehors des applications numériques. Suffirait-il d’employer partout et exclusivement la méthode des limites ? Mais il y a une pétition de principe à supposer possible le passage à la limite qui est justement en question ; il y a pétition de principe parce qu’on prend pour limite une quantité d’un autre genre que la série qui tend vers elle. Pour justifier le passage, il est à craindre qu’on ne retombe dans les infiniment petits, qu’on y retombe au moins d’une manière détournée et dissimulée, ce qui ferait perdre tout le bénéfice qu’on espérait de la méthode des limites. Quelle est donc la solution ? C’est, quand on veut parler d’une limite, d’entendre par là une grandeur de même genre que les grandeurs qui y tendent, mais une grandeur indéfiniment croissante, une grandeur croissant autant qu’on veut. C’est, d’une manière générale, de substituer franchement l’indéfini à l’infini, d’adopter expressément les infinitésimales, mais en les entendant comme leur inventeur : car Leibniz, parfaitement correct comme mathématicien, n’a jamais admis ni, bien entendu, des grandeurs en acte finies quoique très petites, ni des grandeurs infiniment petites à la rigueur. Par une telle théorie, M. Renouvier satisfaisait pleinement au principe de contradiction et trouvait le moyen de se passer de l’infini actuel
