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Problêmes de Géométrie^[1].

1°. Mener un cercle tangent à trois cercles donnés ?

2°. Par un point donné dans le plan d’un parallélogramme, mener avec la règle un parallèle à une droite situee dans ce plan ?

Le premier problême peut se ramener à celui-ci : Mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés, en diminuant ou augmentant le rayon du cercle cherché du rayon du plus petit des trois cercles, suivant qu’il doit toucher ce dernier cercle extérieurement ou intérieurement, ce qui revient à augmenter ou diminuer également les rayons des deux autres cercles d’après la nature de leur point de contact.

fig. 4, pl. 4 Je vais d’abord démontrer la proposition suivante sur laquelle se fonde la solution du problême dont il est question : Si par le point $O$, fig. 4, pl. 4, où se coupent les tangentes extérieures communes aux cercles $X$ et $Y$, et par le point $A$ où doit passer le cercle tangent à ces deux cercles, on mène une droite $AO$, que l’on fasse passer ensuite par le point $O$ une sécante quelconque $OT$, qui vient couper les cercles $X$ et $Y$ intérieurement en $T$ et $T'$ ; qu’enfin par ces deux points $T$ et $T'$ et par le point $A$ on fasse passer un cercle, cette circonférence de cercle coupera $AO$ en un point $B$ qui sera le même, quelle que soit la sécante $OT$.

En effet, $OB$ et $OT$ étant les sécantes d’un même cercle $ABT$, on a :

$AO\times OB=OT\times OT'$.

Mais si l’on mène une nouvelle sécante $Ot$, on a aussi (voyez la page 20 du 1^er vol. de la Correspondance),

$OT\times OT'=Ot\times Ot'$ ;

donc

(1).

$AO\times OB=Ot\times Ot'$.

Il est évident, d’après cette dernière équation ⁽¹⁾, que les quatre points $T$, $T'$, $A$ et $B$ sont placés sur une même circonférence de cercle.

1. Les solutions des deux problêmes suivans m’ont été communiquées par M. Poncelet, admis cette année dans le génie militaire.
   
   H. C.