(12)
et de l’angle qu’ils font entr’eux, on aura :
![{\displaystyle \cos(x,x')=\cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \psi \cos \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa97cb301b9d7fda1d4a523fcddfef05f804bbd5)
L’axe des
, l’axe des
et la droite
forment un
second triangle sphérique, qui ne diffère du premier que par le
côte
, qui devient + 90°, ce qui change
en
et
en —
; donc on aura
![{\displaystyle \cos(y,x')=-\sin \psi \cos \varphi +\cos \sin \psi \cos \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103a10e3aab7c2f5d024b71ed682c776c4132539)
L’axe des
, l’axe des
, et la droite
forment un triangle
sphérique qui diffère du premier, et par le côté qui devient 90°,
parce que l’axe
est perpendiculaire à la droite
, et par
l’angle
qui devient (90° —
), parce que le plan
fait avec
le plan
un angle complément de
, donc
,
,
devient
, et on a
![{\displaystyle \cos(z,x')=-\sin \varphi \sin \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9ba1c054b9a9a519bffeed3215115e112b507a)
Par des considérations semblables, on trouve les valeurs de
![{\displaystyle \cos(x,y'),\cos(y,y'),\cos(z,y').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4c7498a856c676b76e50c383876fc1fcbb8fb3)
La droite
forme avec les deux axes
et
, et avec les
deux axes
et
deux triangles sphériques dont on connoît
deux faces et l’angle compris
.
La droite
et les deux axes des
et
forment un
triangle sphérique dont un côté est 90° +
, l’autre côté est 90°,
et l’angle compris entre ces deux côtés est 90° –
; ce qui donne
![{\displaystyle \cos(x,y')=\cos \theta \sin \psi \cos \varphi -\cos \psi \sin \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8035da0c1df079961d7587785bec3b451d541a7d)
![{\displaystyle \cos(y,y')=\cos \theta \cos \psi \cos \varphi +\sin \psi \sin \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2f0779a3ab1f27205cab548ccd42582c0c4f95)
![{\displaystyle \cos(z,y')=-\sin \theta \cos \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238c73224f74024dd73e5c2386425a0c3ae5e5cb)
Enfin les deux triangles sphériques, formés par la droite (I),
et les deux axes des (x) et (z"), et par la même droite (1), avec
les deux axes des () et ( :’), donnent
![{\displaystyle \cos(x,z')=\sin \theta \sin \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1147c0e0cf46f0c83b653a01720435c2291ae6d)
![{\displaystyle \cos(y,z')=\sin \theta \cos \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64fff3b377aa85f1afac61f80871f57982a39485)
Et d’ailleurs, il est évident que les plans
et
font entr’eux le même angle que les axes
et
; donc
.
C’est d’après cette méthode que M, Poisson a donné, dans ses