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toutes les projections de
sur l’axe des
seront de même
longueur ; on prouve de la même manière que toutes les projections
des
sur l’axe des
sont de même longueur ; on peut
donc supposer les axes des
et des
dans un même plan
,
perpendiculaire à celui des
.
et
sont les angles
du plan
avec les axes des
et des
; le point
étant
l’extrémité d’un
quelconque, il est évident qu’en menant
parallèle à
,
sera la projection de
, sur l’axe
des
; or, dans le triangle
, on a :
![{\displaystyle \sin EFA:AE::AEF:AF,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f74f59c382d579d5bb18419c4b1b5ff084191c)
ou
![{\displaystyle \sin(x',y'z'):x''::\sin(x'',y'z'):AF,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f94968023e1745b6ac16a645f3cfdf39b9267fa)
donc
![{\displaystyle AF=x''{\frac {\sin(x'',y'z')}{\sin(x',y'z')}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a71a4af632496ddbe78319626c2e79c25369f5)
et par la même raison
|
et
|
|
sont les projections de
et
faites sur le même axe des
par
des plans parallèles à
; donc en égalant la somme de ces
trois projections à
, on aura la première des équations
;
on obtiendroit de même les deux autres par les valeurs de
et
de
.
Il est à remarquer que le nombre des constantes qui entrent
dans les équations
, ne peut pas être réduit ; car il faut au
moins trois quantités pour déterminer la pyramide triangulaire
formée par les axes des
, des
et des
; il en faut au
moins deux pour déterminer la position de chacun des axes
des
,
,
, par rapport à l’un quelconque des axes
primitifs ; les constantes nécessaires sont donc au nombre de neuf,
comme on les voit dans les équations
. Mais si l’on supposoit
les axes des
,
,
[1], perpendiculaires entr’eux, en nommant
les angles d’une droite perpendiculaire au plan
des
avec ces axes, on auroit :
![{\displaystyle \cos \alpha ^{2}+\cos \beta ^{2}+\cos \gamma ^{2}=1;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b980e88dd42badad4bb0e03531eb6f016bc00d2)
donc,
![{\displaystyle \sin(x'',x'z')^{2}+\sin(y'',y'z')^{2}+\sin(z'',y'z')^{2}=1;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7df602854db98a575767104e49c2f5cfcea1e2)
et par la même raison,
![{\displaystyle \sin(x'',x'z')^{2}+\sin(y'',x'z')^{2}+\sin(z'',x'z')^{2}=1;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369b5e669f36bb5b5d0e638faac530e1e6e57bd9)
![{\displaystyle \sin(x'',x'z')^{2}+\sin(y'',x'z')^{2}+\sin(z'',x'y')^{2}=1;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f63263d111090246d117a5e9ad93c0c5348838)
- ↑ Note de Wikisource : Correction formule (x"), (y"), (z")