écrit, s’agissait-il de lui ajouter un autre nombre, 53, 729,
on commençait par abaisser 9 boules de la partie supérieure
de la première ligne à la partie intérieure ;
comme, dans le cas présent, il n’en restait que 6, après
avoir abaissé ces 6 boules, on relevait les 10 à la
partie supérieure, en abaissant une boule pour cette
dizaine à la seconde colonne, et on achevait l’opération
sur la première en abaissant 3 boules pour compléter les
9 qu’il s’agissait d’abaisser. Passant à la seconde colonne
on abaissait 2 boules pour le chiffre 2 des dizaines du
nombre 53, 729. Arrivé à la troisième colonne, on abaissait
d’abord les 5 boules restantes, ensuite on remontait
le tout en abaissant pour la dizaine une boule dans la
quatrième colonne et on redescendait 2 boules à la troisième
colonne pour compléter le chiffre 7. Passant à la
quatrième colonne, on abaissait 3 boules pour le chiffre
3 des mille, et enfin on abaissait 5 boules à la cinquième
colonne pour le chiffre 5 des dizaines de mille. L’apparence
finale de l’abacus était, après cette opération, celle
de la figure 2, et le nombre 57, 293, qui s’y trouve écrit
à la partie inférieure, est la somme des deux nombres
3, 564 et 53, 729. Pourajouter un nouveau nombre à57, 293
on agirait de la même manière et ainsi de suite. On voit
donc qu’à l’aide de cet instrument, les additions des
nombres peuvent s’effectuer avec la plus grande facilité ;
il en est de même des soustractions qu’on peut exécuter
par une marche inverse de celle que nous venons de
décrire. — L’abacus, abandonné par toutes les nations de
l’Europe à l’exception de la Russie, est encore extrêmement
répandu en Chine, où on le trouve dans toutes les
maisons de commerce ; il est également en usage dans
certaines parties de l’Inde et dans nos écoles primaires
sous le nom de boulier compteur.
L’usage de l’abacus suppose, comme on vient de le voir, parfaitement établi le système de numération décimale. A qui sommes —nous redevables de cette invention si féconde, ou du moins de son introduction en Europe ? Chasles l’attribue à Boëce (V. ce mot) ; cette opinion a été hautement combattue par Libri. — D’après Chasles, Boëce se servait, sous le nom d’apices, de caractères nommés igin, andrets, ormis, arbas, quimas, calcis, zénis, témenias et celentis, correspondant à nos chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; quant à l’abacus, ce serait un tableau divisé par des lignes horizontales et verticales, formant des cases dans lesquelles devaient être inscrits ces caractères, de façon que les unités de même ordre des différents nombres sur lesquels devait porter l’opération se trouvassent dans une même colonne verticale ; la case correspondante à un certain ordre d’unités devait être passée lorsque le nombre manquait dans cet ordre d’unités. Les opérations d’ailleurs se seraient faites sur ce tableau, comme nous les faisons aujourd’hui. Ce serait, comme on voit, un immense progrès sur l’opération purement mécanique que nous avons décrite précédemment. — D’après le même géomètre, le zéro n’aurait pas tardé à apparaître sous le nom de sipos, de sorte que les occidentaux auraient eu, longtemps avant leurs relations avec les Arabes, un système de numération écrite entièrement identique à celui dont nous nous servons aujourd’hui. — D’après Libri, tout
cela ne serait que chimères et visions. Notre système de
numération, d’origine hindoue, nous serait venu des Arabes
au xn" siècle ; tous les écrivains de cette époque le
disent ; tous les traités d’arithmétique le proclament ;
la question ne saurait donc être douteuse.
Cependant les preuves alléguées par Chasles sont tirées d’anciennes copies manuscrites de l’Arithmétique de Boëce, qu’il parait avoir étudiées avec soin ; et il serait dillicile d’admettre que ce qu’il dit y avoir vu ne s’y trouvât pas. Tout au plus pourrait-on prétendre que les manuscrits en question contiendraient des interpolations faites depuis Boèce. Mais cette hypothèse présente encore des difficultés parce que Boèce, d’après Chasles, attribuerait la connaissance de ce système aux Grecs (à quelques Grecs bien peu nombreux sans doute, car aucun ouvrage grec antérieur à Boëce, écrit à Athènes, à Alexandrie ou a Constantinople, n’en fait mention, et Eutocius même n’y fait pas allusion). — Que conclure ? Nous croyons avec Libri que notre système de numération nous vient des Hindous et nous pensons que Chasles se trompe en lui donnant une origine grecque ou latine. Mais on ne voit pas pourquoi Boëce, qui avait voyagé en Orient, n’aurait pas pu être initié à l’arithmétique des Hindous par un marchand grec de Constantinople, que ses voyages auraient conduit dans l’Inde. On objecte, il est vrai, que Boëce est antérieur à Aryabhata, l’auteur du plus ancien traité d’arithmétique indien connu ; mais il n’est guère probable qu’Aryabhata ait découvert seul tout ce qui se trouve dans son ouvrage ou, sans doute, figurent bien des choses connues avant l’auteur en Hindoustan. — Cependant, pourquoi la tradition ne ferait-elle remonter qu’au xn e siècle l’introduction du système décimal de numération parmi les nations occidentales ? Pourquoi surtout cette introduction aurait-elle été regardée alors comme un événement tout nouveau, pourquoi aurait-elle fait époque ? Cela s’expliquerait peut-être parce que, à partir de Boëce, les ténèbres n’avaient fait que s’épaissir sur toute l’Europe, jusqu’à l’invasion de l’Espagne par les Arabes, et que les connaissances qu’il avait pu acquérir en Grèce, n’ayant pas eu le temps de se répandre, avaient fini par ne plus Lisser de traces.
Chasles, à l’appui de cette opinion, cite un Traité de l’Abacus, de Raoul, évéque de Laon, où il serait dit que ce système de numération était tombé dans l’oubli chez les nations occidentales et que Gerbert et Hermann l’avaient remis en pratique. — Nous ne voyons d’invraisemblable dans tout cela que l’idée de Chasles d’attribuer une origine grecque ou latine à notre système de numération et de pousser l’exagération de son système jusqu’à se demander sérieusement, à propos de l’Arénaire, si Archimède ne connaissait pas le système de l’abacus. — Si Chasles avait seulement voulu dire qu’Archimède connaissait l’A6a$, comptoir, damier, buffet, qui est dénommé dans le premier vers du Jardin des racines grecques, sorte de machine à calculer que nous avons décrite au commencement de cet article et telle qu’elle existe aujourd’hui en Chine, son hypothèse serait plus que probable. Mais nous ne pensons pas que ce soit ce qu’a voulu dire Chasles ; car alors il ne s’agirait plus d’un fait scientifique comparable à l’invention de la méthode qui permit d’écrire tous les nombres avec neuf caractères seulement et un zéro. — Il ne s’agit pas en effet de la numération parlée des Grecs, qui fut toujours décimale, il s’agit de leur numération écrite. Or, que les abax, dans les colonnes ou les rainures desquels on faisait mouvoir des cailloux ou de petites boules, rappelassent la numération parlée décimale, cela n’aurait même pas lieu d’étonner, mais ne prouverait rien pour la numération écrite. — Au reste, on voit quelquefois les nations perfectionner leurs méthodes, jamais on ne les voit en cuanger totalement les bases. Nous sommes assurément bien éloignés de vouloir faire aux Grecs, même à Pappus et à Eutocius, l’injure de croire qu’ils n’eussent pas été mille fois capables d’in-
