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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.
aient leurs pôles situés par les longitudes
et
les équations
suivantes se déduisent de suite :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}r'&\cos(\lambda -\mathrm {N} )&{}-{}&\mathrm {R} '\cos(\mathrm {L} -\mathrm {N} )&={}&\Delta '\cos(l-\mathrm {N} ),\\r'&\sin(\lambda -\mathrm {N} )&{}-{}&\mathrm {R} '\sin(\mathrm {L} -\mathrm {N} )&={}&\Delta '\sin(l-\mathrm {N} ),\\r'&\operatorname {tang} \beta &{}-{}&\mathrm {R} '\operatorname {tang} \mathrm {B} &={}&\Delta '\operatorname {tang} b,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51018c106c0365f9096a9f4ae3a99d54f5aa8a1d)
dans lesquelles l’angle
est entièrement arbitraire.
La première et la seconde équation détermineront immédiatement
et
, d’où
se réduira au moyen de la troisième ; à l’aide de
et de
nous aurons
. Pour que maintenant, le travail du calcul
s’exécute le plus commodément, nous déterminons l’angle arbitraire
des trois manières suivantes :
I. En posant
, nous ferons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {r'}{\mathrm {R} '}}\sin(\lambda -\mathrm {L} )&=\mathrm {P} ,&{\frac {r'}{\mathrm {R} '}}\cos(\lambda -\mathrm {L} )-1&=\mathrm {Q} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443a0e8af31d336042f94c81732d16470d0fae17)
et
,
, et
seront obtenus par les formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} (l-\mathrm {L} )&={\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {Q} }},\\{\frac {\Delta '}{\mathrm {R} '}}&={\frac {\mathrm {P} }{\sin(l-\mathrm {L} )}}={\frac {\mathrm {Q} }{\cos(l-\mathrm {L} )}},\\\operatorname {tang} b&={\frac {{\dfrac {r'}{\mathrm {R} '}}\operatorname {tang} \beta -\operatorname {tang} \mathrm {B} }{\dfrac {\Delta '}{\mathrm {R} '}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114ebac626bb5a472983f80bdf5ac7829c7104c6)
II. En posant
, nous ferons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {R} '}{r'}}\sin(\lambda -\mathrm {L} )&=\mathrm {P} ,&1-{\frac {\mathrm {R} '}{r'}}\cos(\lambda -\mathrm {L} )&=\mathrm {Q} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b173822da1b03220091812f60b720a15c84b66)
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} (l-\lambda )&={\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {Q} }},\\{\frac {\Delta '}{r'}}&={\frac {\mathrm {P} }{\sin(l-\lambda )}}={\frac {\mathrm {Q} }{\cos(l-\lambda )}},\\\operatorname {tang} b&={\frac {\operatorname {tang} \beta -{\dfrac {\mathrm {R} '}{r'}}\operatorname {tang} \mathrm {B} }{\dfrac {\Delta '}{r'}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a526efff12d3b1b67eadde3d153db8b3bd248e)