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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

${\begin{alignedat}{7}w&=v&{}+{}&\delta v'&{}+{}&\delta ^{2}v''&{}+{}&\delta ^{3}v'''.&&\dots \dots \;{\text{etc.}},\\v&=w&{}+{}&\delta w'&{}+{}&\delta ^{2}w''&{}+{}&\delta ^{3}w'''&&\dots \dots \;{\text{etc.}},\end{alignedat}}$

où $v',\,v'',\,v'''\,\dots$ seront des fonctions de $v,$ et $w,\,w',\,w''$ des fonctions de $w.$

Toutes les fois que $\delta$ est une quantité très-petite, ces séries convergent promptement et quelques termes suffisent pour déterminer $w$ au moyen de $v$, ou $v$ au moyen de $w$. On obtiendra $t$ d’après $w$, ou $w$ au moyen de $t$, de la manière que nous l’avons expliqué ci-dessus pour le mouvement parabolique.

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Notre Bessel a développé les expressions analytiques des trois premiers coefficients $w'$, $w''$, $w'''$ de la seconde série, et a en même temps ajouté, pour les valeurs numériques des deux premiers $w'$ et $w''$, une table construite avec l’argument $w$ de degré en degré (Correspondance astronomique du baron de Zach, vol. XII, page 197). On possédait déjà, pour le premier coefficient $w'$, une table construite par Simpson et annexée à l’ouvrage de l’illustre Olbers, dont plus haut nous avons fait l’éloge. Dans la plupart des cas, cette méthode, avec le secours de la table de Bessel, permet de déterminer, d’une manière suffisamment précise, l’anomalie vraie au moyen du temps. Ce qui reste encore à désirer se réduit presque à ces quelques remarques :

I. Dans le problème inverse, à savoir : déterminer le temps d’après l’anomalie vraie, il faut avoir recours à une méthode quasi-indirecte et déterminer $w$, connaissant $v$, à l’aide de tâtonnements. Pour obvier à cet inconvénient, on devra traiter la première série comme la seconde, et puisqu’il est facile de s’apercevoir que $-v'$ est la même fonction de $v$ que $w'$ est de $w$, de telle sorte que la table relative à $w'$, étant changée de signe, puisse servir pour $v'$, on n’aura plus alors besoin que de la table relative à $v''$ pour pouvoir résoudre l’un et l’autre problème avec une égale précision.

II. Il peut certainement se présenter quelquefois des cas où l’excentricité diffère, il est vrai, assez peu de l’unité pour que les méthodes générales exposées ci-dessus ne paraissent pas donner une précision suffisante, mais en diffère trop cependant, pour qu’il soit permis de négliger, dans la méthode spéciale que nous venons d’indiquer, l’effet de la troisième puissance de $\delta$, ainsi que des puissances supérieures.