42
LIVRE I, SECTION I.
les grandes tables. Il ne sera donc pas superflu de donner une méthode spéciale à l’aide de laquelle on puisse éviter, dans ce cas, cette
incertitude et obtenir une précision suffisante avec le seul secours des
tables ordinaires.
34
La méthode vulgaire, à l’aide de laquelle on remédie habituellement à ces inconvénients, repose sur les principes suivants.
Dans une ellipse ou une hyperbole, dont
est l’excentricité,
le
demi-paramètre et par suite,
la distance périhélie, soit
l’anomalie vraie correspondant à un intervalle
écoulé depuis le passage
au périhélie ; soit aussi, pour ce même intervalle et dans une parabole dont le demi-paramètre
ou la distance périhélie
,
l’anomalie vraie correspondante ; la masse
étant négligée de
part et d’autre ou supposée égale. Il est clair qu’on doit alors avoir
![{\displaystyle \int {\frac {p^{2}dv}{(1+e\cos v)^{2}}}:\int {\frac {4q^{2}dw}{(1+\cos w)^{2}}}={\sqrt {\overset {}{p}}}:{\sqrt {2{\overset {}{q}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b706ee3cc103327ad6594871db95bdcc86b9c9d)
les intégrales étant prises depuis
et
; ou bien
![{\displaystyle \int {\frac {(1+e)^{\frac {3}{2}}dv}{(1+e\cos v)^{2}{\sqrt {2}}}}=\int {\frac {2\,dw}{(1+\cos w)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049486b3e25f8ba1b1189e632e80015854c2a653)
En désignant
par
et
par
, on trouve pour la première intégrale
![{\displaystyle {\sqrt {(1\!+\!\alpha )}}\left[\theta +{\frac {1}{3}}\theta ^{3}(1\!-\!2\alpha )-{\frac {1}{5}}\theta ^{5}(2\alpha \!-\!3\alpha ^{2})+{\frac {1}{7}}\theta ^{7}(3\alpha ^{2}\!-\!4\alpha ^{3})-{\text{etc.}}\right]\!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5628d5a506158df66bcabf4a0d4fefa9926747d)
La dernière égale ![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc48afa663fc19c715394489865fdf88ee5ff855)
Il est facile de déterminer, au moyen de ces équations,
d’après
et
et
d’après
et
par le secours des séries infinies ; on peut,
si cela convient mieux, introduire à la place de
l’expression
![{\displaystyle 1-e={\frac {2\alpha }{1+\alpha }}=\delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8755fb8a420d4aa1cb32f4f8cbbfd6d77a4a1942)
Comme il est évident que pour
ou
on a
ces séries
prendront la forme suivante :