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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

Ensuite, tant que $\mathrm {N}$ est considéré comme fonction de $b$ et $t,$ on a

$d\mathrm {N} ={\frac {\mathrm {N} }{t}}\,dt-{\frac {3}{2}}{\frac {\mathrm {N} }{b}}\,db.$

En substituant cette valeur de $d\mathrm {N} ,$ $dr$ et aussi $dv$ de l’article précédent seront exprimés en fonction de $dt,$ $db$ et $d\psi .$ Il faut du reste répéter ici ce que nous avons dit plus haut, à savoir que si les variations des angles $v$ et $\psi$ ne sont pas conçues, exprimées en parties du rayon, mais en secondes, on devra diviser tous les termes qui contiennent $dv$ et $d\psi$ par $206264,8$ ou multiplier par ce nombre tous les autres termes.

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Puisque les quantités auxiliaires représentées par $\varphi ,\,\mathrm {E} ,\,\mathrm {M}$ dans l’ellipse, prennent des valeurs imaginaires dans l’hyperbole, il ne sera pas sans intérêt de rechercher leurs liaisons avec les quantités réelles dont nous avons fait usage. Mettons donc en évidence les principales relations, dans lesquelles nous désignons par $i$ la quantité imaginaire ${\sqrt {-1}}\,:$

$\sin \varphi =e={\frac {1}{\cos \psi }},$

$\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}=i{\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}=i\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\psi ,$

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {1}{2}}\operatorname {cotang} \left(45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)=-{\frac {i}{\sin \psi }},$

$\cos \varphi =i\operatorname {tang} \psi ,$

$\varphi =90^{\circ }\!\!+i\log(\sin \varphi +i\cos \varphi )=90^{\circ }\!\!-i\log \operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\psi \right),$

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} =i\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {F} ={\frac {i(u-1)}{u+1}},$

ou

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sin \mathrm {E} }}&={\frac {1}{2}}\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} +{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} =i\operatorname {cotang} \mathrm {F} ,\\[1ex]\sin \mathrm {E} &=i\operatorname {tang} \mathrm {F} ={\frac {i(u^{2}-1)}{2u}},\end{aligned}}$

ou

${\begin{aligned}\operatorname {cotang} \mathrm {E} &={\frac {1}{2}}\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} -{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} =-{\frac {i}{\sin \mathrm {F} }},\\[1ex]\operatorname {tang} \mathrm {E} &=i\sin \mathrm {F} ={\frac {i(u^{2}-1)}{u^{2}+1}},\end{aligned}}$