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LIVRE I, SECTION I.
on trouve
![{\displaystyle {\frac {dv}{2\cos ^{4}{\dfrac {1}{2}}v}}=2kp^{-{\frac {3}{2}}}\,dt-3tkp^{-{\frac {5}{2}}}\,dp,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca50ad5a06bf7c3320b6cb88c2b87c516b5b0b5)
ou
![{\displaystyle dv={\frac {k{\sqrt {\overset {}{p}}}}{r^{2}}}\,dt-{\frac {3tk}{2r^{2}{\sqrt {\overset {}{p}}}}}\,dp.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e0aa4941202f17dd02876b1df918aded8662a1)
Si l’on veut exprimer, en secondes, les variations de l’anomalie
vraie
les deux termes de
devant aussi être exprimés de la
même manière, on devra prendre pour
la valeur
donnée
dans l’art. 6. Si à la place de
on introduit en outre
la formule devient alors
![{\displaystyle dv={\frac {k{\sqrt {2{\overset {}{q}}}}}{r^{2}}}\,dt-{\frac {3kt}{r^{2}{\sqrt {2{\overset {}{q}}}}}}\,dq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea72d4a7b3032409d2d18b2035d83f044090ebf)
dans laquelle les logarithmes constants dont on devra faire usage,
sont
et ![{\displaystyle \log 3k{\sqrt {\frac {1}{2}}}=3,8766128315.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1434563c7000e7ecd282b3044ce1b0fd0f640a8e)
La différentiation de l’équation
fournit ensuite,
![{\displaystyle {\frac {dr}{r}}={\frac {dp}{p}}+\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\,dv,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11640d4145e719376efec0e8fb365a8e96f2864a)
ou, en exprimant
en fonction de
et de ![{\displaystyle dp,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d6c71849b243fc3aec541df0833c5fe41e976e)
![{\displaystyle {\frac {dr}{r}}=\left({\frac {1}{p}}-{\frac {3kt\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}{2r^{2}{\sqrt {\overset {}{p}}}}}\right)dp+{\frac {k{\sqrt {\overset {}{p}}}\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}{r^{2}}}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fb8cc37abccdf1a910801710e6320496a7a91c)
En substituant à
sa valeur en fonction de
, le coefficient de
se change en
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p}}-{\frac {3p\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v}{4r^{2}}}&-{\frac {p\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}v}{4r^{2}}}={\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v-{\frac {3}{2}}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}v\right.\\&-\left.{\frac {1}{2}}v\sin ^{2}{\frac {1}{2}}v\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v\right)={\frac {\cos v}{2r}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f719d009e9a2b5e568f76396527b761fc2e803c)
mais le coefficient de
devient ![{\displaystyle ={\frac {k\sin v}{r{\sqrt {\overset {}{p}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914d7427de291bbbee19e0d255950f9a7edbcb43)