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LIVRE I, SECTION I.

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Dans la Parabole, l’anomalie excentrique, l’anomalie moyenne et le mouvement moyen deviennent $=0\,;$ ces relations du mouvement comparé au temps ne peuvent donc ici servir. Mais, dans ce cas, nous n’avons pas besoin d’un angle auxiliaire pour intégrer complètement $r^{2}dv\,;$ on a en effet,

$r^{2}dv={\frac {p^{2}dv}{4\cos ^{4}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {p^{2}.d\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}{2\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {1}{2}}p^{2}\left(1+\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v\right)d\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v,$

et, par suite,

$\int r^{2}dv={\frac {1}{2}}p^{2}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v\right)$ + constante.

En prenant pour origine du temps le passage de l’astre au périhélie, la constante $=0\,;$ on a donc

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v={\frac {2tk{\sqrt {1+{\overset {}{\mu }}}}}{p^{\frac {3}{2}}}},$

formule par laquelle on peut déduire $t$ de $v$ ou $v$ de $t,$ dès que $p$ et $\mu$ sont connus. Pour obtenir $p$, qui est un des éléments paraboliques, on déterminera le rayon vecteur au périhélie qui est égal à ${\frac {1}{2}}p,$ et la masse $\mu$ sera ordinairement entièrement négligée. Il ne sera certainement jamais possible de déterminer la masse d’un corps dont l’orbite est trouvée parabolique ; toutes les comètes en effet, d’après les plus récentes observations, paraissent avoir une densité et une masse si faibles que celle-ci peut être considérée comme inappréciable et entièrement négligée.

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La solution du problème ayant pour but de déduire le temps de l’anomalie vraie, et encore bien plus celle du problème inverse peuvent être considérablement abrégées par l’emploi d’une table auxiliaire que l’on trouve dans plusieurs ouvrages d’astronomie. Mais celle de beau-