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MÉTHODE D’OLBERS.

$\mathrm {C} _{1}o={\frac {\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}.{\frac {\sin \mathrm {M} }{\sin o}}.\mathrm {A} _{1}\mathrm {M} .$

Nous déduisons aussi des triangles $oc_{1}s_{1}$ et $s_{1}\mathrm {M} a_{1}$

$c_{1}o={\frac {d_{1}c_{1}}{d_{1}a_{1}}}.{\frac {\sin \mathrm {M} }{\sin o}}.a_{1}\mathrm {M} ,$

on obtient donc

$\delta ''={\frac {\sin \mathrm {M} }{\sin o}}\left({\frac {\mathrm {C} _{1}\mathrm {D} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}\mathrm {A} _{1}\mathrm {M} +{\frac {c_{1}d_{1}}{a_{1}d_{1}}}a_{1}\mathrm {M} \right).$

Mais l’angle $\mathrm {M} =b'-b$

et l’angle $o=b''\!-b,$

de plus $\;\,\mathrm {A} _{1}\mathrm {M} =\delta -a_{1}\mathrm {M} \,;$ nous avons donc, en représentant $a_{1}\mathrm {M}$ par $k$

$\delta ''={\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}\left({\frac {\mathrm {C} _{1}\mathrm {D} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}(\delta -k)+{\frac {c_{1}d_{1}}{a_{1}d_{1}}}k\right).$

Mais nous pouvons évidemment remplacer les rapports

${\frac {\mathrm {C} _{1}\mathrm {D} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}$et${\frac {c_{1}d_{1}}{a_{1}d_{1}}}$par${\frac {\mathrm {CD} }{\mathrm {AD} }}$et${\frac {cd}{ad}}\,;$

on a donc, d’après cela,

$\delta ''={\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}\left({\frac {\mathrm {CD} }{\mathrm {AD} }}(\delta -k)+{\frac {cd}{ad}}k\right)$

ou

${\begin{aligned}\delta ''={\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}\left({\frac {r''\sin(v''\!-v')}{r\sin(v'\!-v)}}\right)\delta +k&\left({\frac {\mathrm {R} ''\sin(\Theta ''\!-\Theta ')}{\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )}}\right.\\&\quad -\left.{\frac {r''\sin(v''\!-v')}{r\sin(v'\!-v)}}\right)\,;\end{aligned}}$

Mais nous avons les relations

${\begin{aligned}\delta \;\,\cos b\;\,&=\rho \;\,\sin(\Theta '\!-\alpha ),\\\delta ''\cos b''&=\rho ''\sin(\Theta '\!-\alpha ''),\end{aligned}}$

il vient donc, en introduisant ces relations dans l’équation précédente,

(1)

${\frac {\rho ''\sin(\Theta '\!\!-\!\alpha '')}{\cos b''}}={\frac {\sin(b'\!\!-\!b)}{\sin(b''\!\!-\!b)}}\!\left({\frac {r''\sin(v''\!\!-\!v).\rho \sin(\Theta '\!\!-\!\alpha )}{r\sin(v'\!\!-\!v)\cos b}}+k.\!\mathrm {U} \right)\!,$

en posant

$\mathrm {U} ={\frac {\mathrm {R} ''\sin(\Theta ''\!-\Theta ')}{\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )}}-{\frac {r''\sin(v''\!-v')}{r\sin(v'\!-v)}}.$