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NOTES DU TRADUCTEUR.

et par suite,

$\mathrm {N} ={\frac {t''\sin(b'-b)}{t'\sin(b''-b')}}\,;$

ou obtient alors, pour $\rho '',$

$\rho ''={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\sin(b'-b)}{\sin(b''-b')}}.{\frac {\delta \cos b''}{\sin(\Theta '-\alpha '')}}$

d’où

$\mathrm {M} ={\frac {\rho ''}{\rho }}={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\sin(b'-b)\sin(\Theta '-\alpha )}{\sin(b''-b')\sin(\Theta '-\alpha '')}}.{\frac {\cos b''}{\cos b}}.$

Transformons maintenant cette expression pour faire disparaître $b''$ et $b.$

En multipliant et divisant par $\cos b'$ nous avons

${\begin{aligned}\mathrm {M} &={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\sin(b'-b)}{\sin(b''-b')}}.{\frac {\sin(\Theta '-\alpha )}{\sin(\Theta '-\alpha '')}}.{\frac {\cos b''.\cos b'}{\cos b\cos b'}}\\[0.75ex]&={\frac {t''}{t'}}\left({\frac {\operatorname {tang} b'\sin(\Theta '-\alpha )-\operatorname {tang} b\sin(\Theta '-\alpha )}{\operatorname {tang} b''\sin(\Theta '-\alpha '')-\operatorname {tang} b'\sin(\Theta '-\alpha '')}}\right)\,;\end{aligned}}$

en substituant à $\operatorname {tang} b'',\,\operatorname {tang} b',\,\operatorname {tang} b$ les valeurs trouvées plus haut, et en posant

[1]

$m={\frac {\operatorname {tang} \beta '}{\sin(\Theta '-\alpha ')}}$

il vient

[2]

$\mathrm {M} ={\frac {t''}{t'}}\left({\frac {m\sin(\Theta '-\alpha )-\operatorname {tang} \beta }{\operatorname {tang} \beta ''-m\sin(\Theta '-\alpha '')}}\right)$

Désignons maintenant par $\mathrm {R,\,R} '$ et $\mathrm {R} ''$ les trois rayons vecteurs de la Terre correspondant aux observations.

Soient $\mathrm {A}$ (fig. 10), la première position de la comète dans l’espace, $\mathrm {S}$ et $\mathrm {T}$ les positions du Soleil et de la Terre correspondantes. Projetons $\mathrm {A}$ en $\mathrm {A} '$ sur l’écliptique, et joignons $\mathrm {AT} ,$ $\mathrm {A'T} ,$ $\mathrm {AS}$ et $\mathrm {A'S} .$

Le triangle $\mathrm {AST}$ donne, en désignant le rayon vecteur $\mathrm {AS}$ par $r,$

$r^{2}=\mathrm {AT} ^{2}+\mathrm {R} ^{2}-2\mathrm {R.AT} .\cos \mathrm {ATS} ,$

mais, en imaginant une sphère en $\mathrm {T}$ et le petit triangle sphérique rectangle $aa's,$ on a

$\cos \mathrm {ATS} =\cos \beta \cos(\Theta -\alpha )$

et comme on a aussi

$\mathrm {AT} ={\frac {\rho '}{\cos \beta }},$