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NOTE XIV.

Nous remarquons en outre que l’équation (8) ne change pas quand on change à la fois $z$ en $180-z$ et $\omega '$ en $-\omega '\,;$ la quantité $l.\mathrm {Q} '$ reste la même. Par conséquent, à la même valeur de $l.\mathrm {Q} '$ correspondent deux valeurs de $\omega '$ égales et de signes contraires, c’est-à-dire que la courbe que nous voulons construire est symétrique par rapport à l’axe des $y.$

Nous pouvons voir tout de suite que la courbe est limitée suivant l’axe des $x,$ car si nous cherchons la valeur de $z$ qui rend ω’ maximum, nous trouvons, en différentiant l’équation (8),

(9)

${\frac {d\omega '}{dz}}=\left(1-{\frac {4\sin ^{2}(z-\omega ')}{\sin ^{2}z}}\right).$

Comme nous savons que la courbe n’a pas de minimum, puisqu’elle passe par l’origine, nous allons égaler à zéro le second membre de l’équation (9) ; nous trouvons ainsi

(10)

$\sin z=2\sin(z-\omega ').$

En multipliant cette équation par l’équation

$4\operatorname {cotang} z=\operatorname {cotang} (z-\omega '),$

nous trouvons

(11)

$\cos z={\frac {1}{2}}\cos(z-\omega ').$

Éliminons $(z-\omega ')$ entre (10) et (11) nous trouvons

$\sin z={\sqrt {\frac {4}{5}}},$

d’où l’on déduit

$z=63^{\circ }\,26'\,5''\!,82.$

En substituant cette valeur dans l’équation (10), on trouve

$\omega '=\pm \,36^{\circ }\,52'\,11''\!,64.$

Ainsi, le lieu géométrique qui représente la relation devant exister entre $\omega '$ et $l.\mathrm {Q} '$ pour que deux des racines soient égales, est compris dans un rectangle ayant pour axe l’axe des $y,$ et dont les côtés latéraux passent par les points de l’axe des $x$ qui correspondent à ± 36° 52′ 11,64″.