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NOTE XIV.

nète $z,$ qui est l’inconnue de Gauss, à l’aide des relations qui existent entre ces deux quantités.

En 1848, M. Encke présenta aussi à l’Académie des sciences de Berlin une note sur la solution graphique de l’équation

$m\sin ^{4}z=\sin(z-q).$

Dans cette note, le savant astronome discutait les solutions qui peuvent se présenter, et le moyen de les déterminer. Son moyen graphique consiste à déterminer les points d’intersection des deux courbes

$y=m\sin ^{4}z$  et  $y=\sin(z-q).$

Après avoir déterminé les limites $m'$ et $m'',$ entre lesquelles $m$ doit tomber, et aussi la limite supérieure de $q,$ pour que, étant donnée une équation

$m\sin ^{4}z=\sin(z-q),$

une valeur réelle de $z$ soit possible, M. Encke donne les conditions d’après lesquelles on peut trouver une orbite différente de celle de la Terre, satisfaisant à trois observations complètes d’une planète. Une table fut aussi construite, donnant pour l’argument $q,$ de degré en degré, les racines correspondantes des limites $m'$ et $m'',$ disposées suivant leur ordre de grandeur. Les racines exactes de l’équation proposée doivent tomber entre ces racines limites.

Il me paraît inutile de parler d’un grand nombre d’autres solutions graphiques résolvant le problème plus ou moins facilement, en employant, soit une ligne courbe et une ligne droite, soit une ligne courbe et un cercle.

Nous allons simplement donner, avec quelque développement, l’élégante solution insérée par M. Yvon Villarceau dans les Annales de l’Observatoire impérial, tome III.

Reprenons l’équation

(1)

$\mathrm {Q} '\sin ^{4}z=\sin(z-\omega ').$

En prenant les logarithmes népériens des deux membres, nous obtenons

(2)

$\log \mathrm {Q} '-\log \sin(z-\omega ')=-4\log \sin z.$

Désignons par $\nu$ la longueur d’une ligne quelconque ; nous pouvons poser

${\begin{aligned}x&=\nu z,&\Omega &=\nu \omega ',&\mathrm {Q} ''&=\nu \log \mathrm {Q} '.\end{aligned}}$