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NOTES DU TRADUCTEUR.

L’angle $z$ représente l’angle à l’astre, c’est-à-dire un angle plus petit que 180°, donc $\sin z$ doit toujours être positif.

Si $\cos \omega '$ est positif, l’équation (2) contient trois variations, donc cette équation n’a pas plus de trois racines positives ; si $\cos \omega '$ est négatif l’équation ne contient plus qu’une variation, donc elle a au plus une racine positive ; le dernier terme de l’équation étant essentiellement négatif, il est évident qu’elle a toujours au moins une racine positive, c’est celle qui répond à la solution relative à la Terre.

Comme lorsqu’on calcule l’orbite d’une planète observée, il doit évidemment y avoir une valeur de $\sin z$ autre que celle relative à la Terre, on en conclut que dans la pratique (si les observations sont aussi exactes qu’elles peuvent l’être) on doit toujours avoir

$\cos \omega '\;$ positif,

c’est-à-dire, $\omega +\sigma$ toujours compris entre ±90°. Nous trouverons tout à l’heure des limites plus resserrées.

Si l’on change $z$ en $-z$ dans l’équation (2), on voit que lorsque $\cos \omega '$ est positif, l’équation transformée n’a qu’une variation ; donc dans ce cas, qui est le seul que nous considérons, la proposée ne peut pas avoir plus d’une racine négative ; dans le cas où $\cos \omega '$ est négatif, la transformée a trois variations, donc la proposée ne peut pas avoir plus de trois racines négatives. Ainsi, dans tous les cas, il ne peut pas y avoir plus de quatre racines réelles, et comme il y en a toujours au moins une, celle de la Terre, et que las racines imaginaires sont conjuguées deux à deux, c’est-à-dire sont en nombre pair, il est bien évident que l’équation (2) admet deux ou quatre racines réelles dont nous ne devons considérer que les racines positives.

La solution de l’équation de Gauss a donné lieu à plusieurs travaux que nous n’entreprendrons pas de développer ici complètement. Le but que tous les savants se sont proposé à ce sujet, a été d’obtenir graphiquement une première détermination de la valeur de $z,$ sur laquelle on put baser ensuite, les essais à l’aide desquels on arrive à une détermination exacte de la racine cherchée.

Déjà, en 1827, M. Binet avait donné une élégante solution graphique de l’équation à laquelle l’a conduit sa méthode relative à la « Détermination des orbites des planètes et des comètes. » Cette équation, qui contient comme inconnue la distance $\rho$ de la planète à la Terre, se ramène facilement à l’équation de Gauss par un changement d’inconnue, c’est-à-dire en substituant à $\rho$ l’angle à la pla-